关于素数的判定小记

1、整除性

      若a和b都为整数，a整除b是指b是a的倍数，a是b的约数（因数、因子），记为a|b。整除的大部分性质都是显而易见的，为了阐述方便，我给这些性质都随便起了个名字。

      i)  任意性，若a|b，则对于任意非零整数m，有am|bm。

      ii) 传递性，若a|b，且b|c，则a|c。

      iii) 可消性，若a|bc，且a和c互素(互素的概念下文会讲到)，则a|b。

      iv) 组合性，若c|a，且c|b，则对于任意整数m、n，有c|(ma+nb)。

      拿一个我还未出生时的初二数学竞赛题就能概括整除的性质了。

     【例题1】(公元1987年初二数学竞赛题) x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。 

      非常典型的一个问题，为了描述方便，令a = （7x+2y-5z），b = （3x-7y+12z），通过构造可以得到一个等式：4a + 3b = 11（3x-2y+3z），则3b = 11（3x-2y+3z） - 4a。

      任意性+组合性，得出 11 |（11（3x-2y+3z） - 4a） = 11|3b。

      可消性，由于11和3互素，得出 11 | b，证明完毕。

      2、素数

      a.素数与合数

      素数又称质数，素数首先满足条件是要大于等于2，并且除了1和它本身外，不能被其它任何自然数整除；其它的数称为合数；而1既非素数也非合数。

      b.素数判定

      如何判定一个数是否为素数？

      i)  对n做[2, n)范围内的余数判定（C++中的'%'运算符），如果有至少一个数用n取余后为0，则表明n为合数；如果所有数都不能整除n，则n为素数，算法复杂度O(n)。

      ii) 假设一个数能整除n，即a|n，那么n/a也必定能整除n，不妨设a <= n/a，则有a^2 <= n，即a <= sqrt(n)（sqrt表示对n开根号），所以在用i)的方法进行取余的时候，范围可以缩小到sqrt(n)，所以算法复杂度降为O( sqrt(n) )。

      iii) 如果n是合数，那么它必然有一个小于等于sqrt(n)的素因子，只需要对sqrt(n)内的素数进行测试即可，需要预处理求出sqrt(n)中的素数，假设该范围内素数的个数为s，那么复杂度降为O(s)。

      c.素数定理

      当x很大时，小于x的素数的个数近似等于x/ln(x)，其中ln(x)表示x的自然对数，用极限表示

                                                                

      从这个定理可以发现，程序中进行素数判定的时候，循环次数明显减少。

int primenumber1(int n){
	for(int i=2;i<=n/2;i++){
		if(n%i==0)  return 0;
	}
	if(n==1) return 0;
	return 1;
}

用这篇博客记录我的一点点小疑惑，为什么素数的判断到sqrt（n）就可以了。

数论还是要用到很多。。。