第一章 复数 1-3-复平面上的点集

PART 01 复平面上的曲线

参数方程与曲线的方向

定义 若平面点集可以表示为由区间 到复平面的连续映射下的像集，则该点集就称为一条平面曲线，该映射称为该曲线的一个参数方程．按照参数的增大或减小的方向可给出曲线的方向，参数增大的方向为曲线的正方向（默认），参数减小的方向为曲线的反方向．

例 1 自点 到点 的有向线段 ．

参数方程的不唯一性

注 同一条平面曲线的参数方程表示不唯一．

例 2 和 都表

示以点 为圆心， 为半径的圆周．

曲线的切向量

定义 若平面曲线可以表示为可导的参数方程（其导数称为该曲线的 切向量 ），则该曲线称为 光滑曲线 ．若平面曲线可以表示为除了有限个点以外处处可导的参数方程，则该曲线称为 逐段光滑曲线 ．

注 本课程中研究的曲线，都是逐段光滑的．

例 3 求有向线段 的切向量．

解 先将方程写为实形式

                

将导数写回复形式 ．

例4 自 经 到 折线段的参数方程

                            

该曲线在 = 1 处通常不可导，故不是光滑曲线，但是逐段光滑的．

例 5 求圆周 的切向量．

解 先将方程写为实形式

                  

将导数写回复形式  ．

重点与闭曲线

定义 对参数方程 ，若存在 ，使得 ，则称   是该参数方程的一个 重（chóng）点 ．

定义 若参数方程以起点和终点为重点（即 z(a) = z(b) ) ，则该参数方程描述的曲线称为 闭曲线 ．

简单曲线

定义 若参数方程没有重点（即对任何，都有  ，或以起点和终点为唯一的重点（即使得 成立的唯一参数值为 ），则该参数方程描述的曲线称为 简单曲线 （后者称为 简单闭曲线 ）．

注 本课程中研究的曲线，都是简单曲线．简单闭曲线的正向默认为逆时针方向．

PART 02 复平面上的区域

内点与开集

定义 集合 称为点   的 − 邻域 ，记作   ． 定义 对平面点集   中的一点 ，若存在 的 − 邻域 ，则称 是   的 内点 ．若   中的所有点都是   的内点，则称 是平面上的 开

集 ．特别，规定空集为开集．

闭集与闭包

定义 对平面点集 ，若其补集为开集，则该集合称为 闭集 ．

注 平面集合中，只有空集 ∅ 和全平面   既是开集也是闭集．

定义 对平面点集   ，若一点   既不是   的内点，也不是其补集的内点，则该点称为   的 边界点 ，   的边界点的全体称为   的 边界 ，记为 ．

定义 对平面点集   ，记 = ∪ S  ，称为   的 闭包 ．

道路连通与区域

定义 若对平面点集   中的任意两点 和 ，都存在落在  中，分别以 和 为起点和终点的曲线，则称该集合为 道路连通 的．

定义 道路连通的开集称为 开区域 ，开区域的闭包称为 闭区域 ．

单连通域

定义 对平面点集 ，若存在正数 ，使得 ，则称   为 有界 集．

Jordan 曲线定理 平面上的任何一条简单闭曲线 ，必将平面分成两个不相交的连通区域，其中一个是有界的，称为该曲线的 内部区域 ，另一个是无界的，称为该曲线的 外部区域 ．这两个区域以 为共同的边界．

定义 若对区域 ，任何一条包含于   的简单光滑闭曲线的内部区域都包含于 内，则称该区域是 单连通 的．

常见区域

多连通域的正向边界

注 1 直观上看，单连通域没有“洞”，多连通域有“洞”．

注 2 本课程中所涉及的区域，边界均默认为由有限条互不相交的简单闭曲线构成．对这类区域，规定 正向边界 为： 外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向 ．

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