从零开始学习线性回归：理论、实践与PyTorch实现

介绍

线性回归是统计学和机器学习中最简单而强大的算法之一，用于建模和预测连续性数值输出与输入特征之间的关系。本博客将深入探讨线性回归的理论基础、数学公式以及如何使用PyTorch实现一个简单的线性回归模型。

基本知识

线性回归的数学基础
线性回归的核心思想是建立一个线性方程，它表示了自变量（输入特征）与因变量（输出）之间的关系。这个线性方程通常表示为：

其中，$y$ 是因变量，$x_1,x_2,\dots ,x_p$ 是自变量，$b_0,b_1,b_2,\dots ,b_p$ 是模型的参数，$p$ 是特征的数量。我们的目标是找到最佳的参数值，以最小化模型的误差。

损失函数
为了找到最佳参数，我们需要定义一个损失函数来度量模型的性能。在线性回归中，最常用的损失函数是均方误差（MSE），它表示了模型预测值与实际值之间的平方差的平均值：

其中，$n$ 是样本数量，$y_i$ 是实际值，${\hat{y}}_i$ 是模型的预测值。

梯度下降优化
为了最小化损失函数，我们使用梯度下降算法。梯度下降通过计算损失函数相对于参数的梯度，并迭代地更新参数，以减小损失。更新规则如下：

其中，$b_j$ 是第$j$个参数，$\alpha$ 是学习率，$\frac{\partial }{\partial b_j}MSE$ 是损失函数对参数$b_j$的偏导数。

代码实现

如果你想知道实现线性回归的大体步骤，下图可以充分进行说明

• 准备数据
• 设计模型（计算）${\hat{y}}_i$
• 构造损失和优化器
• 训练周期（前向，反向 ，更新）

本节还是以刘二大人的视频讲解为例，结尾会设置传送门

class LinearModel(torch.nn.Module):
	def __init__(self):
		super(LinearModel, self).__init__() # 调用父类的构造函数
		self.linear = torch.nn.Linear(1, 1)  # 参数详情下图展示
	def forward(self, x):
		y_pred = self.linear(x)   # x代表输入样本的张量
		return y_pred
model = LinearModel()

所以模型类都要继承Module，此类主要包含两个函数一个是构造函数（初始化对象时调用），另一个是前向计算

好奇的小伙伴会思考为何没有反向（backward），这是因为Module会帮你进行，但是如果后期自己有更高效的方法可以自行设置。

• 第一个参数 in_features：这是输入特征的数量。在这里，表示我们的模型只有一个输入特征。如果你有多个输入特征，你可以将这个参数设置为输入特征的数量。

• 第二个参数 out_features：这是输出特征的数量。这表示我们的模型将生成一个输出。在线性回归中，通常只有一个输出，因为我们试图预测一个连续的数值。

• 第三个参数：意思是要不要偏置量。默认true

通常情况下特征代表列，比如我们有一个n×2的y和一个n×3的x，那么我们需要一个3×2的权重，有的书中会在两边做转置，但无论咋样目的都是为了让这个矩阵乘法成立

criterion = torch.nn.MSELoss(size_average=False)  # 使用均方误差损失 
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)  # 使用随机梯度下降优化器

model.parameters() 用于告诉优化器哪些参数需要在训练过程中进行更新，这包括模型的权重和偏置项等。在线性回归示例中，模型的参数包括权重和偏置项。

优化器的选择有许多大家可以都试试看看

之后就进行训练了

for epoch in range(1000):
    y_pred = model(x_data)
    loss = criterion(y_pred, y_data) 
    print(epoch, loss.item())
    optimizer.zero_grad()   # 归零
    loss.backward()  # 反向
    optimizer.step()  # 更新
print('w = ', model.linear.weight.item()) 
print('b = ', model.linear.bias.item())
x_test = torch.Tensor([[4.0]]) 
y_test = model(x_test)
print('y_pred = ', y_test.data)

完整代码

x_data = torch.Tensor([[1.0], [2.0], [3.0]]) 
y_data = torch.Tensor([[2.0], [4.0], [6.0]])
class LinearModel(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LinearModel, self).__init__() 
        self.linear = torch.nn.Linear(1, 1)
    def forward(self, x):
        y_pred = self.linear(x) 
        return y_pred
model = LinearModel()
criterion = torch.nn.MSELoss(size_average=False)
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
for epoch in range(1000):
    y_pred = model(x_data)
    loss = criterion(y_pred, y_data) 
    print(epoch, loss.item())
    optimizer.zero_grad() 
    loss.backward()
    optimizer.step()
print('w = ', model.linear.weight.item()) 
print('b = ', model.linear.bias.item())
x_test = torch.Tensor([[4.0]]) 
y_test = model(x_test)
print('y_pred = ', y_test.data)
predicted = model(x_data).detach().numpy()
plt.scatter(x_data, y_data, label='Original data')
plt.plot(x_data, predicted, label='Fitted line', color='r')
plt.legend()
plt.show()

运行结果如下

总结

在本篇博客中，我们使用PyTorch实现了一个简单的线性回归模型，并使用随机生成的数据对其进行了训练和可视化。线性回归是一个入门级的机器学习模型，但它为理解模型训练和预测的基本概念提供了一个很好的起点。

挑战与创造都是很痛苦的，但是很充实。