力扣每日一题2021-08-11等差数列划分II - 子序列

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446.等差数列划分II - 子序列

题目描述

给你一个整数数组nums，返回nums中所有等差子序列的数目。
如果一个序列中至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7]、[3, -1, -5, -9]都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7]不是等差序列。
  数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。
• 例如，[2, 5, 10]是[1, 2, 1, 2, 4, 1, 5, 10]的一个子序列。
  题目数据保证答案是一个32-bit的整数。

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示例1

输入

nums = [2, 4, 6, 8, 10]

输出

7

解释

所有的等差子序列为：[2, 4, 6], [4, 6, 8], [6, 8, 10], [2, 4, 6, 8], [4, 6, 8, 10], [2, 4, 6, 8, 10], [2, 6, 10]

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示例2

输入

nums = [7, 7, 7, 7, 7]

输出

16

解释

数组中的任意子序列都是等差子序列。

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提示

• 1 <= nums.length <= 1000
• -2³¹ <= nums[i] <= 2³¹-1

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思路：暴力、动态规划

动态规划

本题与昨天的题类似，只不过昨天的题要求的是子数组，而今天的题要求的是子序列。
枚举每两个数的差，保证找到所有的等差序列。以[2, 4, 6, 8, 10]为例，第一轮假定等差数列从[2]开始遍历nums，第二个元素为4，公差为2， 则后续需要找到6，如果找到6，则所有6都可以构成等差数列，如果没有找到6则[2, 4]开始的等差数列不成立，继续以[2]为开头继续遍历。当[2]开头的等差数列遍历完成后，开始遍历以[4]开头的等差数列。直到所有nums中的数不足3个，停止遍历。但是用这样的暴力搜索会导致超时。
对于这个思路进行优化。假定依旧以[2]开始等差数列，后面的每个数和2的差值分别为[2, 4, 6, 8]，要找到等差序列，就要找到数组中每个数的后面有没有[4+2, 6+4, 8+6, 10+8]。第二轮从4开始，后面的每个数和4的差值分别为[2, 4, 6]，如此遍历，即可得到结果。

Python代码

class Solution:
    def numberOfArithmeticSlices(self, nums: List[int]) -> int:
        # 动态规划
        n = len(nums)
        ans = 0
        dp = [Counter() for i in range(n)]
        # 找到等差数列的末尾值
        for i in range(n-1):
            # 判断加入值后，能不能构成等差数列
            for j in range(i+1, n):
                # 计算差值，作为公差
                diff = nums[j] - nums[i]
                # 如果前面这个末尾有以diff为差的等差序列，那么j可以成为新的末尾，个数是它的个数+1，多了个[i, j]等差序列
                # 如果前面这个末尾没有以diff为差的等差序列，那么j和i构成一个等差序列的起始两位，个数为(0+1)，后面有和j差为diff的话，就可以构成等差序列
                dp[j][diff] += dp[i][diff] + 1
                # i，j以及i前面的以diff为公差的等差序列，可以构成的新的等差序列
                ans += dp[i][diff]
        return ans