这可能是目前全网最快的自幂数计算方法（C++)

改了一下标题，希望能引一波流（手动狗头

好吧我承认，这玩意可能不是全网最快，但它确实很快，看一下文章末尾的数据就知道了

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前言：这个OIer原本以为各位都会，但翻了一下博客发现各位的做法千奇百怪，目前看到的唯一一个貌似是正解的做法用的是python库函数（用其他语言的人要怎么办啊喂），遂写了这篇博客。

假设我们现在要求 n 位自幂数，直接枚举 $[10^{n-1},10^n)$ 区间内的所有数并判断的写法想必不用我讲，那么我们考虑优化。

通过百度，我们可以得到自幂数的性质

如果在一个固定的进制中，一个n位自然数等于自身各个数位上数字的n次幂之和，则称此数为自幂数。

那么，我们从这个性质入手，可以快速想出一个算法：

搜索，在 $[0,9]$ 内任意选 $n$ 个可重复的数，然后计算出这 $n$ 个数的 $n$ 次幂之和，再判断这个和是否是一个由这 $n$ 个数组成的数，如果是那么它就是一个自幂数。

那这和暴力枚举有什么区别？

当然有区别，因为这个算法可以优化：

我们顺序搜索 $[0,9]$ 内每个数被 重复选择 了几次，然后计算出这 $n$ 个数的 $n$ 次幂之和，再判断 这个幂之和 是否是一个由这 $n$ 个数组成的数，如果是那么它就是一个自幂数。

考虑到这是一篇面向大众的博客，那么还是写得详细点比较好

我们设 搜索状态为 $(p,sum,less)$，
$p$ 为当前搜索到了 $[1,9]$ 内第 $p$ 个数，
$sum$ 为当前被选择的数的 $n$ 次幂之和 (比如之前 $9$ 选 $1$ 个，$8$ 选 $2$ 个，$5$ 选 $1$ 个 ，那么 $sum=9^n+2\cdot 8^n+5^n$)，
$less$ 为还可以选几个数

设初始状态为 $(9,0,n)$ （$p=9$ 从大往小搜是有意义的，在接下来的剪枝部分中会提到）

那么对于 $(p,sum,less)$，我们接下来肯定是要搜索 $(p-1,sum+k\cdot p^n,less-k)$ （$0\le k\le less$)

显然，当 $p=0$ 或 $less=0$ 时我们就可以开始判断当前搜索的是否为自幂数 并 终止搜索了。

我们可以证明这个算法的时间复杂度为 $O(n{C}_{n+9}^{10})$

虽然这个算法时间复杂度较优，但面对 $n\ge 30$ 的情况，就算无视递归自带的常数，期望运行时间也超过了2分钟

Q：这么慢，怎么办？
A：剪枝！大力剪枝！

剪枝

我们发现，在搜索过程中搜索了大量超过 $n$ 位数的 $sum$，这部分肯定要剪枝！

那么如果搜索到的 $sum$ 大于等于 $10^n$，我们就直接返回。

既然剪掉了超过 $n$ 位数的$sum$，那么 $sum$ 低于 $n$ 位数，也就是 $sum<10^{n-1}$的状态也要剪掉。

那么这里又出现了一个小问题，我们怎么判断在当前搜索状态下继续搜索的所有 $sum$ 都小于 $10^{n-1}$？

那么就体现出我们之前把 $p$ 从大往小搜的重要性了。

对于状态 $(p,sum,less)$，它向下搜索的 $sum$ ，肯定不大于当前状态下的 $sum+less\cdot p^n$

那么如果 $sum+less\cdot p^n<10^{n-1}$ ，那么我们也直接返回。

code

由于原本的代码压行严重可能会引起部分人的不适，所以我格式化了一下。

以及如果输入一个数 $n$ 输出 $-1$ 代表没有长度为 $n$ 的自幂数。

#include 
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef __int128 ull;
constexpr int N = 1e6 + 7;
ull fn[10], lowerlimit, upperlimit, ans[N];
int n, flg[17], acnt, flg2[17];

bool check(ull num)
{
	for(int i = 0; i <= 9; ++ i)	flg2[i] = flg[i];
	while(num)
	{
		if(flg2[num % 10] <= 0)
		{
			return false;
		}
		-- flg2[num % 10], num /= 10;
	}
	return true;
}

void dfs(ull num, int nowp, int less)
{
	if(nowp == 0)	flg[0] = less, less = 0;
	if(num + less * fn[nowp] < lowerlimit)	return ;
	if(less == 0)
	{
		if(check(num))
		{
			ans[++ acnt] = num;
		}
		return ;
	}
	ull res = 0;
	for(int *i = &flg[nowp]; *i <= less; ++ *i)
	{
		if(num + res > upperlimit)	break;
		dfs(num + res, nowp - 1, less - *i);
		res += fn[nowp];
	}
	flg[nowp] = 0;
}
void print128(__int128 x)
{
	if(x < 0)	putchar('-'), x = -x;
	if(x == 0)	return ;
	print128(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
int main()
{
	clock_t start,end;
	scanf("%d", &n);
	start = clock();
	for(ull i = 1; i < 10; ++ i)
	{
		fn[i] = 1;
		for(int j = 1; j <= n; ++ j)
		{
			fn[i] *= i;
		}
	}
	lowerlimit = 1;
	for(int i = 1; i < n; ++ i)
	{
		lowerlimit *= 10llu;
	}
	upperlimit = 10 * lowerlimit - 1;
	dfs(0, 9, n);
	sort(ans + 1, ans + acnt + 1);
	if(acnt > 0) {
		for(int i = 1; i <= acnt; ++ i) {
			print128(ans[i]), putchar(' ');
		}
	}
	else	printf("-1");
	putchar('\n');
	end = clock();
	double totaltime = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
	printf("耗时%.4lfs\n", totaltime);
	system("pause");
	return 0;
}

这份代码在本机耗时 $90.701s$ 运行完了 $n=38$ 的情况。

$n=39$ 是特殊的，由于 unsinged __int128 的大小限制，这份代码并不能完全搜完所有的 $39$ 位数，所以我并不确定这份代码在 $n=39$ 时的正确性。
至于 $n>39$ …… 万能的百度百科告诉我们 十进制中最大的自幂数只有 $39$ 位。