《数据结构与算法》——Dijkstra算法总结

《数据结构与算法》——Dijkstra算法总结

在考研中，图的应用部分有四个大考点分别为最小生成树、最短路径问题、拓扑排序以及关键路径。在最短路径问题中有两个小考点分别为Dijkstra算法和Floyd算法。在本文，将对Dijkstra算法进行知识总结、讲解以及c++代码呈现。

目录

《数据结构与算法》——Dijkstra算法总结

目的

要求

思想

手动实现

时间复杂度

代码实现

参考文献

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目的

求一个带权有向图中某个定点到其他各个顶点的最短路径，即解决单源图的最短路径问题。

要求

1. 源点无论经过多少个中间点均有机会到达此图各个顶点，否则不存在到该顶点的最短路径。
2. 各个边的权值必须为正数。

思想

举个例子，假如你现在正在乘坐泰坦尼克号在广袤的大海上旅行，突然船撞倒了冰山上（从现在开始，剧情变化了），所有的人都在逃生。你现在有幸跳到了一艘救生艇上，现在救生艇下面漂着100个人，你和这100个人之间或多或少的都有些联系，救生艇能将你们所有人救出来，但救生艇每次只能上一个人，在忽略人员性别等问题，单纯从和你相关关系的角度出发的情况下，请问怎么救人？

在题目中“你”是一个只看私人感情的人，毋庸置疑，得先救出和自己关系最好的人小A，然后再从｛自己与水中人的关系，自己与小A的关系+小A与水中人的关系｝中进行比较选出最好关系对，并由其去救起小B，下面类似的从｛自己与水中人的关系，自己与小A的关系+小A与水中人的关系，自己与小A的关系+小A与小B的关系+小B与水中人的关系，自己与小B的关系+小B与水中人的关系｝中进行比较选出最好的关系对，并由其救起小C，以此类推，直至将所有落水者救出为止。（注：本例子只用作辅助理解，并无其他意思。）

在救人的过程中，我们需要两个名单作为记录，一个用于记录各个落水者与“你”的关系程度，一个用于记录救起各个落水者的人员。

用算法的语言来描述如下：

arcs[][]：记录各个顶点到其它顶点的直接长度。（“你”和各个落水者的直接关系）

s[]：用于记录已求得的最短路径的节点。（被救起的落水者）

v[]：为原始的顶点集合。

path[]：记录源点到各个节点的最短路径的前驱节点（救起各个落水者的人员），初始值为arcs[v0][i]（和“你”的关系）。

dist[]：记录源点到各个节点的最短路径长度。（关系）

假设从v0出发，初始化：s=｛v0｝，dist[i]=arcs[v0][i]，path[i] = v0，i为集合v剩余节点，v=v-s（在集合v中去掉初始点）

while(v集合不为空)｛

从集合v中选出一个顶点vj，它满足dist[vj] = Min{dist[vi],vi属于v}，此点即为从v0出发的一条最短路径的终s=s+{vj}  v=v-{vj}

如果是第一趟选出的点，则令path[vj] = v0

修改最短路径dist ，对于v中的任意一个顶点vk，若dist[vk] > dist[vj] + arcs[vj][vk] , 则令dist[vk]=dist[vj]+arcs[vj][vk]，path[vk] = vj

｝

手动实现

以2016年计算机联考真题为例，

如下图

 

从顶点1出发，初始化

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	无穷	无穷	4	无穷
path	-1	1	-1	-1	1	-1

距离最短的是的<1,5>,将点5添加到s中；修改dist值。

 

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	无穷	11	4	9
path	-1	1	-1	5	1	5

经计算比较发dist最小的是<1,2>,将点2添加到s中，修改dist值。

 

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	7	11	4	9
path	-1	1	2	5	1	5

经计算比较发dist最小的是<2,3>,将点3添加到s中，修改dist值。

 

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	7	11	4	9
path	-1	1	2	5	1	5

经计算比较发dist最小的是<5,6>,将点6添加到s中，修改dist值。

 

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	7	11	4	9
path	-1	1	2	5	1	5

经计算比较发dist最小的是<5,4>,将点4添加到s中，修改dist值。

 

	1	2	3	4	5	6
dist	0	5	7	11	4	9
path	-1	1	2	5	1	5

计算结束。s序列为1 5 2 3 6 4

当然考试的时候没必要将所有的步骤写出来，要做到又快又准。

 

时间复杂度

本算法是基于贪心策略的。算法的主要部分是由双重循环组成的，第一层循环每次求出一个符合要求的点及其最短路径，内层循环是进行遍历以查找最短路径，其时间复杂度为o(|v|^2),其中|v|为所有顶点数。当把各个点都看成顶点进行算法执行时，需要执行|v|次算法，则此时算法的时间复杂度为 o(|v|^3)。

 

代码实现

最近有些朋友在搞数模用到了这个算法，自己就顺带先复习一下这个算法。

/*编译环境：
win10专业版
DEV C++ 5.11
TDM-GCC 4.9.2 64bit
*/

#include
#include
#include
#define INF 65535
#define Max 5 
using namespace std;

int pp[(Max+1)*3] ;

void Dijkstra(int arcs[][Max+1],int n,int v0){
	int path[n+1] ;
	int dist[n+1] ;//此两项无需初始化 
	int s[n+1] = {2};//第一项初始化，s[0]记录旧集合开始的下标 
	int i,j,k,min = INF,temp,v1;
	bool change=1;//标记，防止图不连通形成死循环 
	for(i=1;i<=n;i++){//dist和s赋初值 
		dist[i] = arcs[v0][i];
		s[i] = i ;
		//cout<dist[temp]+arcs[temp][s[i]]){
				dist[s[i]] = dist[temp]+arcs[temp][s[i]] ;
				path[s[i]] = temp;	
			}
			i++;//if
		}//while

		v1 = temp;	

	}//while
	for(i = 1;i<=n;i++){
		pp[i] = path[i];
		pp[i+n] = dist[i];
		pp[i+2*n] = s[i];
	}
	return ;
}//fun


int main(){
	//变量声明 
	int arcs[Max+1][Max+1];// = {{INF}};//初始化 
	int v0;
	int n;
	stack ss;
	//int *pp;// [2][Max+1] 
	//初始化 
	for(int i = 0;i<=Max;i++)
		for(int j = 0; j<=Max; j++)
			arcs[i][j] = INF;
	arcs[1][2] = 10;arcs[1][5] = 5 ;
	arcs[2][3] = 1 ;arcs[2][5] = 2 ;
	arcs[3][4] = 6 ;arcs[4][1] = 7 ;
	arcs[4][3] = 6 ;arcs[5][2] = 3 ;
	arcs[5][3] = 9 ;arcs[5][4] = 2 ;
	n  = 5;
	v0 = 1;
	
	//执行算法 
	Dijkstra(arcs,n,v0);
	//输出
	//插入顺序队列
	cout<<"集合S：\t";
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		cout<

参考文献

1. 严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）[M]. 北京： 清华大学出版社，2013.
2. 王道论坛 2019年数据结构考研复习指导[M]. 北京： 电子工业出版社，2018.

如有错误，还请各位不吝指正。