有向图和无向图最大距离的总结

前言：
感觉每次遇到有向图或无向图的题都是比赛时候嫌自己写的太乱，写了一半就不想写了，赛后看别人的代码直接orz，也太简洁了，所以今天打算对之前做过的图的各种距离问题进行一个总结，以后做到跟图有关距离有关的问题也持续更新在这里了。

1.无向图的直径（模板）
cf 1294f ： 题目链接
题意：
给你一个图，让你在这个图里选3个点，问你怎样选才能使得这三个点连线之间包含的边数最多，最后输出最多的边数，以及选的三个点。

思路：
最优方法是先选个直径再选个离直径最远的点作为这三个点，这样包含的边数肯定是最多的，可以用反证法证得，如果选了先选了两个不是直径的点，肯定没有选了直径的优，画一下图就知道了。另外要特别注意直径是整张图，也就是整张图是一个链的的情况要特判一下。
以下是模仿mike大神（orz）写的代码。

#include 

#define eb emplace_back
#define mp make_pair
#define mt make_tuple
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rall(x) (x).rbegin(), (x).rend()
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); ++i)
#define for1(i, n) for (int i = 1; i <= (int)(n); ++i)
#define ford(i, a, b) for (int i = (int)(a); i >= (int)b; --i)
#define fore(i, a, b) for (int i = (int)(a); i <= (int)(b); ++i)
#define rep(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); i++)
#define per(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); i--)
#define ms(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vpi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef long long i64;
typedef vector<i64> vi64;
typedef vector<vi64> vvi64;
typedef pair<i64, i64> pi64;
typedef double ld;

template<class T> bool uin(T &a, T b) { return a > b ? (a = b, true) : false; }
template<class T> bool uax(T &a, T b) { return a < b ? (a = b, true) : false; }

int n;
vvi g;
vi p;

pii dfs(int v, int par = -1, int dist = 0) {
    p[v] = par;
    pii res = mp(dist, v);
    for (auto to : g[v]) {
        if (to == par) continue;
        res = max(res, dfs(to, v, dist + 1));
    }
    return res;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.precision(10);
    cout << fixed;
#ifdef LOCAL_DEFINE
    freopen("in", "r", stdin);
#endif

	cin >> n;
	g = vvi(n);
	p = vi(n);
	forn(i, n - 1) {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;
        --v1; --v2;
        g[v1].eb(v2);
        g[v2].eb(v1);
	}
	pii da = dfs(0);
	pii db = dfs(da.se);
	vi diam;
	int v = db.se;
	while (v != -1) {
        diam.eb(v);
        v = p[v];
	}
	if (int(diam.size()) == n) { //直径就是整个图，也就是整个图就是一条链
        cout << n - 1 << '\n';
        cout << diam[0] + 1 << " " << diam[1] + 1 << " " << diam.back() + 1 << '\n';
        return 0;
	}
	queue<int> q;
	vi d(n, -1);
	for (int u : diam) {
        d[u] = 0;
        q.push(u);
	}
	while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        for (auto to : g[v]) {
            if (d[to] == -1) {
                d[to] = d[v] + 1;
                q.push(to);
            }
        }
	}
	pii mx = mp(d[0], 0);
	forn(i, n) {
        mx = max(mx, mp(d[i], i));
	}
	cout << int(diam.size()) - 1 + mx.fi << '\n';
	cout << diam[0] + 1 << " " << diam.back() + 1 << " " << mx.se + 1 << '\n';

#ifdef LOCAL_DEFINE
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
#endif
	return 0;
}

2.DAG(有向无环图)的最长距离
计蒜客 a1254 题目链接

题意：
给你一个编号由(1~n)的有向图，给你m条有向边，形不成环（因为题目说了一条合法路的两点高度严格单调递减）， 现在问你这个DAG上最长的距离。

思路：
拓扑排序模板题，用个dp数组保存一下到达每个点的最长距离即可。

#include 

#define eb emplace_back
#define mp make_pair
#define mt make_tuple
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rall(x) (x).rbegin(), (x).rend()
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); ++i)
#define for1(i, n) for (int i = 1; i <= (int)(n); ++i)
#define ford(i, a, b) for (int i = (int)(a); i >= (int)b; --i)
#define fore(i, a, b) for (int i = (int)(a); i <= (int)(b); ++i)
#define rep(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); i++)
#define per(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); i--)
#define ms(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vpi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef long long i64;
typedef vector<i64> vi64;
typedef vector<vi64> vvi64;
typedef pair<i64, i64> pi64;
typedef double ld;

template<class T> bool uin(T &a, T b) { return a > b ? (a = b, true) : false; }
template<class T> bool uax(T &a, T b) { return a < b ? (a = b, true) : false; }

const int maxn = (int)1e4 + 1000;
int T, n, m, deg[maxn], dp[maxn];
vector< vector< pair<int, int> > > g;

void toposort() {
    queue<int> q;
    forn(i, n) if (!deg[i]) q.push(i);
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        for (auto it : g[v]) {
            if (it.fi == v) continue;
            --deg[it.fi];
            if (!deg[it.fi]) q.push(it.fi);
            dp[it.fi] = max(dp[it.fi], dp[v] + it.se);
        }
    }
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.precision(10);
    cout << fixed;
#ifdef LOCAL_DEFINE
    freopen("in", "r", stdin);
#endif

	cin >> T;
	while (T--) {
        cin >> n >> m;
        ms(dp, 0);//while(T--) + memset --maybe--> TLE
        ms(deg, 0);
        g = vector< vector< pair<int, int> > >(n);
        forn(i, m) {
            int v1, v2, val;
            cin >> v1 >> v2 >> val;
            --v1; --v2;
            ++deg[v2];
            g[v1].pb({v2, val});
        }
        toposort();
        int ans = -1;
        forn(i, n) {
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        cout << ans << '\n';
	}

#ifdef LOCAL_DEFINE
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
#endif
	return 0;
}

3.有向有环图的最长距离（每个点只有一条出边）
牛客寒假训练营第六场 B题目链接
题意：
给你n个点（编号为1~n），下面n行，第i行的数表示第i个点出边的终点，可能形成环，问你最长距离是多少

思路：
先用拓扑排序把能到的最远距离（用dp数组存）都求出来，然后再对入度仍不为0，也就是环内的点跑个dfs看一下这个环包含几个点（用circle数组存），最后如果这个点在环里，那就ans = max（ans, dp[i] + circle[i]）,如果不在环里，就是ans = max(ans, dp[i]);

#include 

#define eb emplace_back
#define mp make_pair
#define mt make_tuple
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rall(x) (x).rbegin(), (x).rend()
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); ++i)
#define for1(i, n) for (int i = 1; i <= (int)(n); ++i)
#define ford(i, a, b) for (int i = (int)(a); i >= (int)b; --i)
#define fore(i, a, b) for (int i = (int)(a); i <= (int)(b); ++i)
#define rep(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); i++)
#define per(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); i--)
#define ms(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vpi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef long long i64;
typedef vector<i64> vi64;
typedef vector<vi64> vvi64;
typedef pair<i64, i64> pi64;
typedef double ld;

template<class T> bool uin(T &a, T b) { return a > b ? (a = b, true) : false; }
template<class T> bool uax(T &a, T b) { return a < b ? (a = b, true) : false; }

const int maxn = (int)1e6 + 1000;
int n, to[maxn], indeg[maxn], dp[maxn];
int dep[maxn], circle[maxn];

void dfs(int v, int d) {
    if (circle[v]) return;
    if (dep[v] != -1) circle[v] = d - dep[v]; //之前被访问过 形成一个circle
    else dep[v] = d;
    dfs(to[v], d + 1);
}
void toposort() {
    queue<int> q;
    forn(i, n) if (!indeg[i]) q.push(i);
    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        --indeg[to[v]];
        if (!indeg[to[v]]) q.push(to[v]);
        dp[to[v]] = max(dp[to[v]], dp[v] + 1);
    }
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.precision(10);
    cout << fixed;
#ifdef LOCAL_DEFINE
    freopen("in", "r", stdin);
#endif

	cin >> n;
	ms(indeg, 0);
	ms(dp, 0);
	ms(dep, -1);
	ms(circle, 0);
	forn(i, n) {
        cin >> to[i];
        --to[i];
        ++indeg[to[i]];
	}
	toposort();
	forn(i, n) if (indeg[i] && !circle[i]) dfs(i, 0);
	int ans = -1;
	forn(i, n) {
        if (circle[i]) ans = max(ans, dp[i] + circle[i]);
        else ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << '\n';

#ifdef LOCAL_DEFINE
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
#endif
	return 0;
}

4.树上最大权值和子链（带负权）
牛客小白月赛题目链接
题意：
给你n个点，每个点都有一个权值，然后给你（n-1）条边， 每条链的值是链上所有点的权值之和，现在让你求最大权值和的子链。

思路：
dfs
注意是双向边，如果用前向星要开两倍数组。

/**
* Copyright(c)
* All rights reserved.
* Author : zzy
* Date : 2020-03-09-17.36.43
*/
#include 

#define eb emplace_back
#define mp make_pair
#define mt make_tuple
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rall(x) (x).rbegin(), (x).rend()
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); ++i)
#define for1(i, n) for (int i = 1; i <= (int)(n); ++i)
#define ford(i, a, b) for (int i = (int)(a); i >= (int)b; --i)
#define fore(i, a, b) for (int i = (int)(a); i <= (int)(b); ++i)
#define rep(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); i++)
#define per(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); i--)
#define ms(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define SZ(x) ((int)(x).size())

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vpi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef long long i64;
typedef vector<i64> vi64;
typedef vector<vi64> vvi64;
typedef pair<i64, i64> pi64;
typedef double ld;

template<class T> bool uin(T &a, T b) { return a > b ? (a = b, true) : false; }
template<class T> bool uax(T &a, T b) { return a < b ? (a = b, true) : false; }

const int maxn = (int)1e6 + 5;
i64 n, a[maxn], head[maxn], tot, ans, big[maxn];
struct Edge{
  int to, nxt;
}edge[maxn];

void addEdge(int u, int v) {
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].nxt = head[u];
    head[u] = tot++;
}
void dfs(int u, int par) {
    i64 mx = 0;
    big[u] = a[u];
    ans = max(ans, big[u]);
    for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
        int v = edge[i].to;
        if (v == par) continue;
        dfs(v, u);
        ans = max(ans, mx + big[v] + a[u]);
        mx = max(mx, big[v]);
    }
    big[u] = mx + a[u];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.precision(10);
    cout << fixed;
#ifdef LOCAL_DEFINE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif

    tot = 0;
    ms(head, -1);
    ans = LLONG_MIN;
    cin >> n;
    for1(i, n) cin >> a[i];
    forn(i, n-1) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        addEdge(u, v);
        addEdge(v, u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << ans << '\n';

#ifdef LOCAL_DEFINE
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
#endif
    return 0;
}

5.关于子链的问题（每条边的贡献）
题目链接
题意：
有n-1条边，现在可以将1~n-1这n-1个数赋值给这n-1条边作为他们的值，现在定义这棵树的权值为所有子链的值之和，问你这棵树的最小权值。

思路：
有很多条子链不好搞，自然想到考虑每条边的贡献度，每条边在计算树的权值时出现的次数为他左边一共有多少个点*右边一共有多少个点，搞个dfs记录一下右边的点的个数x，n-x就是左边点的个数，那么x*（n-x）就是这条边的贡献，因为要最小排序，所以把这n-1条边的贡献从大到小排序，按1~n-1依次赋值给各个边计算结果就ok。

对了，比赛中想这题的时候突然想到之前cf上的一道题：添加链接描述
给你两个点a,b，问你有多少组（x,y）x≠a,x≠b,y≠a,y≠b 之间的路径并经过ab这条路，思路也是先把a连得路全都搞没了，bfs一下，看有几个点到不了，再把b连得路全都搞没了，bfs一下，看有几个点到不了，然后这两个数相乘就ok。

ac代码：

/**
* Think twice, code once.
* 1.integer overflow(maybe even long long overflow : (a+b >= c) -> (a >= c-b)
* 2.runtime error
* 3.boundary condition
* ---------------------------------------------------------------------------------------
* Author : zzy
* Date : 2020-03-22-02.47.18 Saturday
*/
#include 

#define eb emplace_back
#define mp make_pair
#define mt make_tuple
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rall(x) (x).rbegin(), (x).rend()
#define forn(i, n) for (int i = 0; i < (int)(n); ++i)
#define for1(i, n) for (int i = 1; i <= (int)(n); ++i)
#define ford(i, a, b) for (int i = (int)(a); i >= (int)b; --i)
#define fore(i, a, b) for (int i = (int)(a); i <= (int)(b); ++i)
#define rep(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); i++)
#define per(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); i--)
#define ms(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define SZ(x) ((int)(x).size())

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<pii> vpi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef long long i64;
typedef vector<i64> vi64;
typedef vector<vi64> vvi64;
typedef pair<i64, i64> pi64;
typedef double ld;

template<class T> bool uin(T &a, T b) { return a > b ? (a = b, true) : false; }
template<class T> bool uax(T &a, T b) { return a < b ? (a = b, true) : false; }

const i64 maxn = (i64)1e5+1000;
i64 n, rt[maxn];
vvi64 g(maxn);
vi64 e;

void dfs(int u, int par) {
    rt[u] = 1;
    for (int to : g[u]) {
        if (to == par) continue;
        dfs(to, u);
        rt[u] += rt[to];
    }
    if (par) e.eb(rt[u]*(n-rt[u]));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.precision(10);
    cout << fixed;
#ifdef LOCAL_DEFINE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif

    cin >> n;
    forn(i, n-1) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].eb(v);
        g[v].eb(u);
    }
    dfs(1, 0);
    sort(all(e), [&](i64 n1, i64 n2) {
            return n1>n2;
         });
    i64 ans = 0;
    forn(i, n-1) {
        ans += (i+1)*e[i];
    }
    cout << ans << '\n';

#ifdef LOCAL_DEFINE
    cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
#endif
    return 0;
}