代码随想录算法训练营第五十九天 | 动态规划 part 17 | 647. 回文子串、516.最长回文子序列

647. 回文子串

Leetcode

思路

1. dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2. 递推公式
   • s[i]与s[j]不相等
     • 那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
   • s[i]与s[j]相等时
     • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
     • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
     • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3. 初始化：全部为false
4. 遍历顺序，因为递推公式需要用到dp[i + 1][j - 1]，在dp[i][j]的左下角。所以遍历顺序需要从下往上，从左到右
   
5. 举例推导dp: 输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：
   

思路2 双指针

通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串。在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

代码

dp

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
        res = 0
        for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
            for j in range(i, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    if j - i <= 1: # 情况1 和 情况2
                        dp[i][j] = True
                        res += 1
                    elif dp[i + 1][j - 1]: # 情况3
                        dp[i][j] = True
                        res += 1
        return res

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

双指针

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        res = 0
        for i in range(len(s)):
            l, r = i, i

            # odd case
            while l >= 0 and r < len(s) and s[l] == s[r]:
                res += 1
                l -= 1
                r += 1
            
            # even case
            l, r = i, i+1
            while l >= 0 and r < len(s) and s[r] == s[l]:
                res += 1 
                l -= 1
                r += 1
        
        return res

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)

516.最长回文子序列

Leetcode

思路

1. dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 递推公式：

   • s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
     
   • s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
     • 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]
     • 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]
     • 那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
       

3. 初始化：其他为0，dp[i][i] = 1

4. 遍历顺序：从下到上，从左到右
   

5. 举例推导：输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：

   

代码

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
        
        for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
            for j in range(i + 1, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])

        return dp[0][-1]

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)