【算法】C++动态规划+滚动数组（面试极其加分的代码）

一、DP思路

• 看到OJ题需要求最值，就应该形成条件反射——嗯，这题或许要使用贪心算法或者动态规划。当你发现贪心不能解决问题，且原问题规模可缩小时，即可考虑用动态规划求解

• 先把原问题的规模缩成最小的子问题，确定边界

• 逐步扩大子问题，并且通过前面步骤的子问题的解来求最新子问题的解

• 当子问题规模扩大为i时，可推出状态转移方程

例如：原问题dp[i]的解=子问题dp[i-1]的解+子问题dp[i-2]的解

• dp[i]数组的意义：问题变量的状态。随着i的变化dp[i]记录着问题变量状态的变化过程

二、题解步骤

1. 确定原问题与子问题
2. 确认状态，dp[i]数组的意义
3. 确认边界状态的值
4. 确认状态转移方程

（理论晦涩难懂，请看下方例题，长文警告！！！）

三、例题

动态规划最经典的问题莫过于背包问题了
想要了解的朋友可点击下方的3个传送门
01背包
小破站视频讲解
dalao博客
完全/多重背包
dalao博客

而我更想讲的是下面这题——一道比较简单易懂的dp题

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

• 网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
• m和n的值均不超过100
  来源：力扣（LeetCode）力扣每日一题-20200706

动态规划的题目分为两大类，一种是求最优解类（就是上文所提到的条件反射），典型问题是背包问题，另一种就是计数类，比如这里的统计方案数的问题，它们都存在一定的递推性质。

假设，我们要从左上角的起点a走到右下角的终点b，每次只能向右或者向下移动1格，问：总共有多少条不同路径（暂时不考虑障碍问题）
如下图：

确定原问题：

首先明确：我们的终极目标就是要到b处（从起点走到终点），这就是我们的原问题，这应该很好理解

确定子问题：

• 由图和题目可知，我们要走到方格9(b处)，那么唯有从方格6或者方格8处直接到达（一次只能向下或者向右移动一步）
• 这个时候我们如果先把问题的范围稍微缩小一下，把终极目标改为走到6处
• 同理可得，6可由3或者5直接到达，再次缩小范围，依次类推…3只能由2到达，而2只能由1到达…当我们来到这一步的时候，我们的最小子问题就出来了：有多少路径可由1到达2？（也可以理解为从1到达1才是最小子问题）显而易见只有1条，同理，由1到达4也只有1条路径

逐步扩大子问题：

那么如今我们

• 已知1到2与1到4的路径总和，是不是能求1到5的路径总和了？
• 已知1到2的路径总和，是不是能求1到3的路径总和了？
• 已知1到3和1到5的路径总和，是不是能求1到6的路径总和了？
  …
  …
• 依次类推，我们最终能得到1到6和1到8的路径总和，进而求得我们的终极目标——从a到b处的路径总和

根据我们逐步扩大子问题的过程，我们可以列出下面公式:

cnt[i]：从方格1走到方格i的路径总和

已知1到2与1到4的路径总和，求1到5的路径总和：cnt[5] = cnt[2]+cnt[4];
已知1到2，求1到3的路径总和：cnt[3] = cnt[2];
已知1到3与1到5的路径总和，求1到6的路径总和：cnt[6] = cnt[3]+cnt[5];
…
…
已知1到6与1到8的路径总和，求1到9的路径总和：cnt[9] = cnt[6]+cnt[8];

dp[i]的意义：
cnt[i]：从方格1走到方格i的路径总和
此处的 cnt[i] 即我们前文所提到的 dp[i]
从方格1走到方格i的路径总和 即为 dp[i]的意义

我们再把上述公式化为二维进行表示，即：

cnt[1][1] = cnt[0][1