高中奥数 2022-01-22

2022-01-22-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题29）

设是一个正奇数,是一个实数,满足:是一个无理数.记,.

证明:是一个整数,并确定其值.

证明

利用无理数,可知是个两两不同的实数.

为确定所求代数式的值,我们去寻找一个以为根的次多项式.

注意到,,于是,有,,所以

令,则多项式有个根(这一点由(1)可知,因为的次方根为,),而是一个次多项式,所以是的所有根.

记,则由韦达定理知,,,所以.

对用二项式定理,知,,从而,结合为奇数,可得

问题获解.

2022-01-22-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题30）

证明:对任意,存在一个首项系数为1的次整系数多项式,使得,这里为任意实数.

证明

当时,取即可;

当时,,命题也成立.

假设命题对和成立,即存在首项系数为1的整系数多项式和使得

其中、的次数分别为和.

下面考虑的情形注意到

将(1)与(2)相加,得

利用归纳假设,可知

故令(易知是一个首项系数为1的整系数多项式),就有

命题对成立.

所以,命题成立.

2022-01-22-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题31）

设为有理数,也是有理数.求的所有可能值.

解

记,由为有理数,知存在,使得,,即.由上题的结论知存在整系数多项式,使得,从而有

这表明(注意)是方程

的有理根.然而(1)左边是一个首项系数为1的多项式,故(1)的有理根都是整数根.

所以为整数,结合,知,于是(集合中的每个值都存在取到是显然的).

2022-01-22-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题一 P054 习题32）

单位圆上是否存在无穷多个点,使得其中任意两点之间的距离都是有理数?

解

不妨设所给单位圆方程为,现取,则,.考虑由组成的点集,.

对任意、,我们有

所以,.

注意到,、,由及结合数学归纳法易证:对任意都有、.因此,中任意两点之间的距离都是有理数.

现在还需要证明:是一个无穷点集.

若否,设是一个有限集,则存在、,,使得,,这表明,.

又,由上题的结论,知,但,矛盾.

所以,是一个无限集综上,存在满足条件的无穷多个点.