数据结构-二叉树

目录

一、树形结构

        1.1 概念

        1.2 树的表示形式（了解）

        1.3 树的应用         

二、二叉树

        2.1 概念

        2.2 两种特殊的二叉树

        2.3 二叉树性质

        2.4 二叉树的存储

        2.5 二叉树的基本操作

        2.6 练习题

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一、树形结构

        1.1 概念

        树是一种非线性的数据结构，由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。它具有以下的特点：

• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、...、Tm，其中每个集合Ti (1<=i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 树是递归定义的

        树形结构中，子树间不能有交集，否则就不是树形结构；除根结点外，每个结点只有一个父类节点；一颗n个结点的树有n-1条边。

        结点的度：一个结点含有子树的个数称该结点的度，如上图，A结点的度为2

        树的度：一棵树中，所有结点度的最大值即为树的度，如上图，树的度为2

        叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点，如上图K、E、I、J都是叶子结点

        双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图A是B的父结点

        孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图B是A的孩子结点

        根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图A

        结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

        树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图树的高度为5

        了解：

        非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图D、E、F、G...等节点为分支结点

        兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图B、C是兄弟结点

        堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图H、I互为兄弟结点

        结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图 A 是所有结点的祖先

        子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

        

        森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

        1.2 树的表示形式（了解）

          树结构相对线性表比较复杂，要存储表示起来比较麻烦，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。这里简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法

class Node {

        int value; // 树中存储的数据

        Node firstChild; // 第一个孩子引用

        Node nextBrother; // 下一个兄弟引用

}

        1.3 树的应用         

        文件系统管理 （目录和文件）      

        

二、二叉树

        2.1 概念

        二叉树：节点的有限集合，该集合或为空或由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

        二叉树不存在度大于2的结点；二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，故二叉树是有序树。任意二叉树都是由以下几种情况复合而成：

        2.2 两种特殊的二叉树

        1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也

就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 -1，则它就是满二叉树

        2.完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来。对深度

为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至

n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

        2.3 二叉树性质

        1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i>0)个结点

        2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 -1(k>=0)

        3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

        4.  具有n个结点的完全二叉树的深度k为 向上取整

        5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：若 i >0，双亲序号：(i-1)/2；若 i = 0，i 为根结点编号，无双亲结点；若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子。

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

        A 不存在这样的二叉树

        B 200

        C 198

        D 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

        A n

        B n+1

        C n-1

        D n/2

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

        A 383

        B 384

        C 385

        D 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（ ）

        A 11

        B 10

        C 8

        D 12

答案： 1.B    2.A   3.B   4.B

        2.4 二叉树的存储

        二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

        二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式如下：

// 孩子表示法

class Node {

        int val; // 数据域

        Node left; // 左孩子的引用，常代表左孩子为根的整棵左子树

        Node right; // 右孩子的引用，常代表右孩子为根的整棵右子树

}

// 孩子双亲表示法

class Node {

        int val; // 数据域

        Node left; // 左孩子的引用，常代表左孩子为根的整棵左子树

        Node right; // 右孩子的引用，常代表右孩子为根的整棵右子树

        Node parent; // 当前节点的根节点

}

        2.5 二叉树的基本操作

        在学习二叉树的基本操作前，要创建一棵二叉树，然后才能学习相关的基本操作，现在先手

动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解差不多，再来研究二

叉树真正的创建方式

public class BinaryTreeFast {
    static class TreeNode{
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        public TreeNode(int val){
            this.val = val;
        }
    }
    private  static TreeNode root;
    public static void createBinaryTree(){
        TreeNode node1 = new TreeNode(1);
        TreeNode node2 = new TreeNode(2);
        TreeNode node3 = new TreeNode(3);
        TreeNode node4 = new TreeNode(4);
        TreeNode node5 = new TreeNode(5);
        
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node1.right = node3;
        node2.left = node4;
        node2.right = node5;
    }
}

       注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。

        二叉树的遍历

         1. 前中后序遍历

        学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中每

个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内

容、节点内容加 1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算的基础

        在遍历二叉树时，按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定相同。如

果 N 代表根节点，L代表根节点的 左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序

有以下遍历方式：NLR ：前序遍历——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树；LNR：中序遍

历——根的左子树--->根节点--->根的右子树；LRN：后序遍历——根的左子树--->根的右子树--->

根节点

//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root){
    if(root == null){
        return;
    }
    System.out.print(root.val+" ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root){
    if(root == null){
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val+" ");
    inOrder(root.right);
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root){
    if(root == null){
        return;
    }
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    System.out.print(root.val+" ");
}

public static void main(String[] args) {
    BinaryTreeFast binaryTreeFast = new BinaryTreeFast();
    BinaryTreeFast.TreeNode root = BinaryTreeFast.createBinaryTree();
    binaryTreeFast.preOrder(root); //1 2 4 5 3
    System.out.println();
    binaryTreeFast.inOrder(root); //4 2 5 1 3
    System.out.println();
    binaryTreeFast.postOrder(root); //4 5 2 3 1
}

       2. 层序遍历

        层序遍历：设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先

访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自

上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

        

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ()

     A: ABDHECFG      B: ABCDEFGH      C: HDBEAFCG      D: HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 ()

     A: E      B: F      C: G      D: H

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ()

     A: adbce      B: decab      C: debac      D: abcde

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 ()

     A: FEDCBA      B: CBAFED      C: DEFCBA      D: ABCDEF

答案    1.A 2.A 3.D 4.A

        基本操作

// 获取树中节点的个数

int size(Node root);

// 获取叶子节点的个数

int getLeafNodeCount(Node root);

// 子问题思路-求叶子结点个数

// 获取第K层节点的个数

int getKLevelNodeCount(Node root,int k);

// 获取二叉树的高度

int getHeight(Node root);

// 检测值为value的元素是否存在

Node find(Node root, int val);

//层序遍历

void levelOrder(Node root);

// 判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree(Node root);

        2.6 练习题

        1. 检查两颗树是否相同        链接

        2. 另一颗树的子树        链接

        3. 翻转二叉树       链接

        4. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树        链接

        5. 对称二叉树        链接

        6. 二叉树的构建及遍历        链接

        7. 二叉树的分层遍历        链接

        8. 给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先        链接

        9. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树        链接

        10. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树        链接

        11. 二叉树创建字符串        链接

        12. 二叉树前序非递归遍历实现        链接

        13. 二叉树中序非递归遍历实现        链接

        14. 二叉树后序非递归遍历实现        链接