【Luogu】 P5643 [PKUWC2018] 随机游走

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题目解法

首先考虑 m i n − m a x min-max minmax 容斥
可得 E ( S ) = ∑ T ⊆ S ( − 1 ) ∣ T ∣ − 1 f ( T ) E(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}f(T) E(S)=TS(1)T1f(T)
其中 f ( T ) f(T) f(T) 为从 x x x 第一次到达 T T T 集合中任意一点的期望步数
树上随机游走可以想到树上高斯消元,所以开始推式子
g ( i , S ) g(i,S) g(i,S) 为从 i i i 第一次到达 S S S 集合中任意一点的期望步数(后面省略 S S S
g ( i ) = 1 + 1 d e g i f f a + 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) f v = 1 + 1 d e g i f f a + 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) ( A v f i + B v ) = 1 + 1 d e g i f f a + ( 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) A v ) f i + 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) B v g(i)=1+\frac{1}{deg_i}f_{fa}+\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}f_v\\ =1+\frac{1}{deg_i}f_{fa}+\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}(A_vf_i+B_v)\\ =1+\frac{1}{deg_i}f_{fa}+(\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}A_v)f_i+\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}B_v g(i)=1+degi1ffa+degi1×vson(i)fv=1+degi1ffa+degi1×vson(i)(Avfi+Bv)=1+degi1ffa+(degi1×vson(i)Av)fi+degi1×vson(i)Bv
所以 ( 1 − 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) A v ) f i = 1 d e g i f f a + 1 + 1 d e g i × ∑ v ∈ s o n ( i ) B v (1-\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}A_v)f_i=\frac{1}{deg_i}f_{fa}+1+\frac{1}{deg_i}\times\sum\limits_{v\in son(i)}B_v (1degi1×vson(i)Av)fi=degi1ffa+1+degi1×vson(i)Bv
f i f_i fi 的系数除过去即可得到 A i , B i A_i,B_i Ai,Bi,式子过于复杂,写了可能也看不清
我们可以钦定 x x x 为根,那么 f ( S ) = B x f(S)=B_x f(S)=Bx
计算 f f f 的时间复杂度为 O ( n 2 n ) O(n2^n) O(n2n)

然后我们发现 m i n − m a x min-max minmax 容斥的式子是一个子集卷积,直接 f w t fwt fwt 即可,时间复杂度 O ( n 2 n ) O(n2^n) O(n2n)
其实不用 f w t fwt fwt 也可以过题,时间复杂度为 O ( q 2 n ) O(q2^n) O(q2n),但常数很小

#include 
using namespace std;
const int N=20,P=998244353;
int n,q,rt,f[1<<18],cnt[1<<18],A[N],B[N];
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
inline void inc(int &x,int y){
    x+=y;
    if(x>=P) x-=P;
}
int qmi(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) res=1ll*res*a%P;
        a=1ll*a*a%P;
    }
    return res;
}
void dfs(int u,int fa,int S){
	if(S>>u&1) return;
	int rs1=0,rs2=0,deg=(fa>=0);
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int v=e[i];if(v==fa) continue;
		dfs(v,u,S);deg++;
		inc(rs1,A[v]),inc(rs2,B[v]);
	}
    int ivdeg=qmi(deg,P-2);
	rs1=(P+1-1ll*rs1*ivdeg%P)%P,rs1=qmi(rs1,P-2);
	rs2=1ll*rs2*ivdeg%P+1;
	A[u]=1ll*ivdeg*rs1%P,B[u]=1ll*rs2*rs1%P;
}
void add(int x,int y){ e[idx]=y,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;}
void fwt(){
    n=1<<n;
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
        for(int i=0;i<n;i+=mid<<1)
            for(int j=0;j<mid;j++){
                f[i+j+mid]+=f[i+j];
                if(f[i+j+mid]>=P) f[i+j+mid]-=P;
            }
}
int main(){
	n=read(),q=read(),rt=read();rt--;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();x--,y--;
		add(x,y),add(y,x);
	}
	for(int S=0;S<1<<n;S++){
		for(int i=0;i<n;i++) A[i]=0,B[i]=0;
		dfs(rt,-1,S),f[S]=B[rt];
		cnt[S]=__builtin_popcount(S)+1;
        if(cnt[S]&1) f[S]=P-f[S];
	}
    fwt();
	while(q--){
		int k=read(),State=0;
		while(k--){ int x=read();State|=1<<(x-1);}
		printf("%d\n",f[State]);
    }
	fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
	return 0;
}
/*
f[i][S]:从i出发,第一个到点集S中的点的期望步数
*/

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