模拟滤波器的基础知识和设计
信号处理工作中滤波器的应用是非常广泛的，可以分成模拟滤波器和数字滤波器两种，数字滤波器主要包括两种，IIR和FIR，这两种滤波器后面统一说，今天先来说一说模拟滤波器（主要是我先用Python实现了Matlab书里面模拟滤波器的一些内容）。
首先，什么是滤波器，什么又是模拟滤波器？
滤波器：具有频率选择作用的电路或者运算处理系统，具有滤除噪声、分离不同信号的功能，今天主要写的是，1、巴特沃斯滤波器、2、切比雪夫滤波器，3、椭圆滤波器，4、低通到低通的频带转换
模拟滤波器：更具一组设计规范来设计模拟系统函数
,使其逼近某个理想滤波器的特性。
各种模拟滤波器的设计过程都是先设计出低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成其他类型模拟滤波器。
我们考虑因果系统：
其中，
是系统的单位脉冲响应，是实函数，那么就有：
实际上有：
定义模拟滤波器的振幅平方函数为：
令：
如果要系统稳定，那么
如果我们要让系统函数稳定，就应该选用
在s剖面的左半平面的极点作为的极点。
来看看今天的内容：
目录
1、巴特沃斯滤波器
2、切比雪夫I型滤波器
3、切比雪夫II型滤波器
4、椭圆滤波器（考尔滤波器）
5、低通到低通的频带变换
首先，和Jupyter笔记本一样，先导入我们需要的包：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as signal1、巴特沃斯滤波器
其振幅平方函数为：
其中，N是滤波器的阶数，N越大，带通和傣族的近似性越好，过渡带也就越陡。
tips：之前一大段时间没有更新，一个是野外没条件，另一个原因就是懒得没有好好去读Scipy.signal的文档，所以说博客有一大段时间空下来了，其实这两天再去读文档，同时对照着Matlab书里面的函数讲解，发现很多都是一样的。
MATLAB中，buttap函数用来计算N阶巴特沃斯归一化，模拟低通原型滤波器系统函数的零点、极点、增益因子的，Python也一样，返回的都是z，p，k，分别是G(p)的极点、零点、增益
我们来看一个最简单的例子：产生一个20阶低通模拟滤波器原型，表示为零极点增益形式：
[z,p,k]=signal.buttap(20)
[n,den]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[h,w]=signal.freqs(n,den)
plt.subplot(211)
plt.plot(np.abs(h))
plt.grid(True)
plt.subplot(212)
plt.plot(w)
plt.grid(True)来看看结果：chule
说实话，除了这张图以外，其他的我都能和Matlab的对的上。
那就来看一看不同阶数下的巴特沃斯滤波器的幅频响应曲线：
n=np.linspace(0,2,200,dtype='float')
[z1,p1,k1]=signal.buttap(1)
[num1,den1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[w1,h1]=signal.freqs(num1,den1)
magh1=abs(h1)
[z2,p2,k2]=signal.buttap(3)
[num2,den2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[w2,h2]=signal.freqs(num2,den2)
magh2=abs(h2)
[z3,p3,k3]=signal.buttap(8)
[num3,den3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[w3,h3]=signal.freqs(num3,den3)
magh3=abs(h3)
[z,p,k]=signal.buttap(12)
[num,den]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[w,h]=signal.freqs(num,den)
magh=abs(h)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(magh1)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(magh2)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(magh3)
plt.grid(True)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(magh)
plt.grid(True)
在已知设计参数
之后，利用buttord函数可以求出所需要的滤波器的阶数和3dB截止频率：
[n,Wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中：
Wp:带通截止频率
Ws:带阻起始频率
Rp:通带内波动
Rs:阻带内最小衰减
1、低通滤波器：
# 采样速率为10000H在，设计一个低通滤波器，fp=2000Hz，fs=3000H在，Rp=4dB，Rs=30dB
fn=10000
fp=900
fs=600
Rp=3
Rs=20
Wp=(fp/(fn/2))
Ws=fs/(fn/2)
[n,Wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,Wn)
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,8000)
plt.subplot(211)
plt.plot(H,20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("LowPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(H,pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)这里有个地方注意一下：Matlab和Python的signal.freqs/z两个函数的输出顺序是不同的，Matlab的输出的H和W和Python输出的H的W两者刚好调换了位置。sheshe
2、高通滤波器：
# 采样速率为10000H在，设计一高通滤波器，fp=900Hz，fs=600Hz，Rp=3dB，Rs=20dB
fn=10000
fp=900
fs=600
Rp=3
Rs=20
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Ws,Wp,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'high')
[H,F]=signal.freqz(b,a,900,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(H,20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("HighPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(H,pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)
3、带通滤波器：
fn=10000
fp=np.array([600,1700])
fs=np.array([900,1200])
Rp=4
Rs=30
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'bandpass')
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("BandPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)
4、带阻滤波器：
fn=10000
fp=np.array([600,1700])
fs=np.array([900,1200])
Rp=4
Rs=30
Wp=fp/(fn/2)
Ws=fs/(fn/2)
[n,wn]=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=signal.butter(n,wn,'bandstop')#看到了吗，低通、高通、带通、带阻的选择方式就是这样
[H,F]=signal.freqz(b,a,1000,10000)
plt.subplot(211)
plt.plot(20*np.log10(abs(F)))
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('altitude')
plt.title("BandPass")
plt.grid(True)
pha=np.angle(F)*180/np.pi
plt.subplot(212)
plt.plot(pha)
plt.xlabel("frequency")
plt.ylabel('angle')
plt.grid(True)
2、切比雪夫I型滤波器
式中：
是有效通带截止频率，
是与通带波纹有关的参量，越大，波纹越大，但其范围在(0,1),
是N阶切比雪夫多项式：
这里就不写Matlab的了，直接写Python的：
[z,p,k]=signal.cheb1ap(N,rs)n是阶数，rs是通带的幅度误差，返回值分别是滤波器的零点、极点、增益：
Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=1
rs=30
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.cheb1ord(Wp,Ws,rp,rs,'lowpass')
[z,p,k]=signal.cheb1ap(N,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,np.pi,50,dtype='float')
[h,w1]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h*wc/wp,20*np.log10(abs(w1)))
plt.grid(True)
n=np.linspace(0,4,200,dtype='float')
Rp=1
N1=1
N2=3
N3=5
N4=7
[z1,p1,k1]=signal.cheb1ap(N1,Rp)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(H1,magh1)
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.cheb1ap(N2,Rp)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(H2,magh2)
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.cheb1ap(N3,Rp)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(H3,magh3)
plt.grid(True)
[z4,p4,k4]=signal.cheb1ap(N4,Rp)
[b4,a4]=signal.zpk2tf(z4,p4,k4)
[H4,w4]=signal.freqs(b4,a4,n)
magh4=np.power(np.abs(w4),2)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(H4,magh4)
plt.grid(True)
3、切比雪夫II型滤波器
[z,p,k]=signal.cheb2ap(N,rs)n是阶数，rs是通带的波动，返回值分别是滤波器的零点、极点、增益。
Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=1
rs=30
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.cheb2ap(N,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,np.pi,50,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h*wc/wp,20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)
n=np.linspace(0,4,200,dtype='float')
Rp=1
N1=1
N2=3
N3=5
N4=7
Rp=20
[z1,p1,k1]=signal.cheb2ap(N1,Rp)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(H1,magh1)
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.cheb2ap(N2,Rp)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(H2,magh2)
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.cheb2ap(N3,Rp)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(H3,magh3)
plt.grid(True)
[z4,p4,k4]=signal.cheb2ap(N4,Rp)
[b4,a4]=signal.zpk2tf(z4,p4,k4)
[H4,w4]=signal.freqs(b4,a4,n)
magh4=np.power(np.abs(w4),2)
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(H4,magh4)
plt.grid(True)
4、椭圆滤波器（考尔滤波器）
这是一种带通和带阻等波纹的滤波器，在阶数相同的的条件下，有着最小的通和带阻波动，其在带通和带阻的波动相同，特点：
1、是一种零极点型滤波器，在有限频率范围内存在传输零点和极点
2、其通带和阻带都有着等波纹特性，所以通带、阻带逼近特性良好
3、在同样的性能要求下，比前两种滤波器所需要的阶数都低，而且其过渡带比较窄。
其中，
是雅各比椭圆函数，L是一个表示波纹性质的参量。
[N,wc]=signal.ellipord(wp,ws,rp,rs)其功能是求解滤波器的最小阶数，Wp代表通带介质角频率，W是代表阻带起始角频率，Rp表示通带波纹（dB），Rs表示阻带最小衰减（dB）
[z,p,k]=signal.ellipap(N,rp,rs)同样，求解零点、极点、增益。
Wp=3*np.pi*4*np.power(12,3)
Ws=3*np.pi*12*np.power(10,3)
rp=2
rs=25
wp=1
ws=Ws/Wp
[N,wc]=signal.ellipord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.ellipap(N,rp,rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
w=np.linspace(0,2*np.pi,67,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h,20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)
plt.axis([0,6.5,-50,0])
plt.show()
n=np.linspace(0,2,200,dtype='float')
Rp=1
Rs=15
N1=2
N2=3
N3=5
N4=7
[z,p,k]=signal.ellipap(N1,Rp,Rs)
[b,a]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[H,w]=signal.freqs(b,a,n)
magh=np.power(np.abs(w),2)
plt.subplot(221)
plt.plot(H,magh)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z1,p1,k1]=signal.ellipap(N2,Rp,Rs)
[b1,a1]=signal.zpk2tf(z1,p1,k1)
[H1,w1]=signal.freqs(b1,a1,n)
magh1=np.power(np.abs(w1),2)
plt.subplot(222)
plt.plot(H1,magh1)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z2,p2,k2]=signal.ellipap(N3,Rp,Rs)
[b2,a2]=signal.zpk2tf(z2,p2,k2)
[H2,w2]=signal.freqs(b2,a2,n)
magh2=np.power(np.abs(w2),2)
plt.subplot(223)
plt.plot(H2,magh2)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
[z3,p3,k3]=signal.ellipap(N4,Rp,Rs)
[b3,a3]=signal.zpk2tf(z3,p3,k3)
[H3,w3]=signal.freqs(b3,a3,n)
magh3=np.power(np.abs(w3),2)
plt.subplot(224)
plt.plot(H3,magh3)
plt.axis([0,4,0,1])
plt.grid(True)
5、低通到低通的频带变换
[b,a]=signal.lp2lp(bp,ap,Wp)wp：模拟低通滤波器的通带截止频率
ap：归一化模拟低通滤波器的分子
bp：归一化模拟低通滤波器的分母
a：频带变换后系统函数的分子
b：频带变换后系统函数的分母
来看一个合适的切比雪夫I型滤波器，以实现低通到低通的频带变换
Wp=3*np.pi*5000
Ws=3*np.pi*13000
rp=2
rs=25
wp=1
ws=Ws/Wp
[n,wc]=signal.cheb1ord(wp,ws,rp,rs,'s')
[z,p,k]=signal.cheb1ap(n,wc)
[bp,ap]=signal.zpk2tf(z,p,k)
[b,a]=signal.lp2lp(bp,ap,Wp)
w=np.linspace(0,3*np.pi*30000,250,dtype='float')
[h,w]=signal.freqs(b,a,w)
plt.plot(h/(2*np.pi),20*np.log10(np.abs(w)))
plt.grid(True)
好了，今天大概就看了这么多，后面的还多着呢，明天再说。