常见泰勒展开公式及复杂泰勒展开求法

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https://blog.csdn.net/weixin_45792450/article/details/104404432

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初等的函数泰勒展开

$e^x$

$$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+...+\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

$\sin x$

$$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-...+\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+2})$$

$\cos x$

$$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-...+\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n+1})$$

$\ln (1+x)$

$$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-...+(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}{x}^n+o(x^n)$$

$(1+x{)}^m$

$$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}{x}^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

$\frac{1}{1+x}$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^{n-1}{x}^n+o(x^n)$$

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\times 3}{2\times 4}{x}^2-\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}{x}^3+...+(-1{)}^{n-1}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}{x}^n+o(x^n)$$

稍复杂的函数泰勒展开求法

1. 分解函数法
   $f(x)=f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)$，对各函数分别展开，然后按多项式次数汇总即可

2. 求导积分法
   $f^{\prime }(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n+o(x^n)$，左右两边积分即得原函数的泰勒展开
   对两边求导可得导函数泰勒展开，对两边积分可得原函数泰勒展开

3. 复合函数法
   $$若f(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n+o(x^n),g(x)=b_{1}x+b_2{x}^2...+b_n{x}^n+o(x^n)$$

$$则f(g(x))=a_0+a_1[b_{1}x+...+b_n{x}^n+o(x^n)]+...$$

$$+a_n[b_{1}x+...+b_n{x}^n+o(x^n){]}^n+o(x^n)$$

由上述方法加上初等函数泰勒展开，很容易算出诸如$\arctan x,\frac{1}{1+x^2},\sqrt{1+x}$之类的泰勒展开