C语言练习百题之判断质数

题目:判断一个数字是否为质数

程序分析

要判断一个数字是否为质数，需要检查该数字是否能被除了1和它本身之外的其他整数整除。如果能被整除，那么它不是质数。否则，它是质数。

方法1：简单遍历法

解题思路

从2开始遍历到该数字的平方根，检查是否能整除该数字。

实现代码

#include 
#include 

int is_prime_simple(int num) {
    if (num < 2)
        return 0;

    int sqrt_num = (int)sqrt(num);

    for (int i = 2; i <= sqrt_num; i++) {
        if (num % i == 0)
            return 0;
    }

    return 1;
}

优缺点

• 优点：
  • 实现简单，容易理解。
• 缺点：
  • 效率较低，时间复杂度为O(√n)，可能不适用于大数判断。

方法2：优化遍历法

解题思路

在简单遍历法的基础上，可以进行一些优化。只需要遍历到该数字的平方根，同时每次遍历加2（因为偶数除了2都不是质数）。

实现代码

#include 
#include 

int is_prime_optimized(int num) {
    if (num < 2)
        return 0;
    if (num == 2)
        return 1;
    if (num % 2 == 0)
        return 0;

    int sqrt_num = (int)sqrt(num);

    for (int i = 3; i <= sqrt_num; i += 2) {
        if (num % i == 0)
            return 0;
    }

    return 1;
}

优缺点

• 优点：
  • 比简单遍历法效率更高，因为避免了偶数的判断。
• 缺点：
  • 仍然有一定的时间复杂度，不适用于极大数判断。

方法3：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）

解题思路

该方法利用了质数的特性：所有的非质数都可以分解为质数的乘积。从小到大逐步筛选掉非质数，直到剩下的数字即为质数。

实现代码

#include 
#include 

int is_prime_eratosthenes(int num) {
    if (num < 2)
        return 0;

    // Create an array to mark if a number is prime
    int *prime_flags = (int *)malloc((num + 1) * sizeof(int));
    if (prime_flags == NULL) {
        printf("Memory allocation failed.\n");
        exit(1);
    }

    // Initialize the array
    for (int i = 0; i <= num; i++) {
        prime_flags[i] = 1;  // Assume all numbers are prime initially
    }
    prime_flags[0] = prime_flags[1] = 0;  // 0 and 1 are not prime

    // Apply Sieve of Eratosthenes algorithm
    for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
        if (prime_flags[i]) {
            for (int j = i * i; j <= num; j += i) {
                prime_flags[j] = 0;  // Mark multiples of prime numbers as non-prime
            }
        }
    }

    int is_prime = prime_flags[num];
    free(prime_flags);
    return is_prime;
}

优缺点

• 优点：
  • 效率较高，时间复杂度为O(n log log n)。
• 缺点：
  • 需要额外的空间来存储标记，空间复杂度较高。

总结与推荐

• 方法1（简单遍历法）是最简单直接的实现，但效率较低，不适用于大数判断。
• 方法2（优化遍历法）在简单遍历法的基础上进行了优化，效率较高，但仍然有一定的时间复杂度。
• 方法3（埃拉托斯特尼筛法）效率最高，适用于较大数判断，但需要额外的空间。

推荐使用方法3（埃拉托斯特尼筛法）作为最优方法，尤其对于大数判断，它能提供较高的效率。如果对空间复杂度有较高要求，可以根据具体情况选择方法2（优化遍历法）。方法1（简单遍历法）在效率上不如方法2和方法3，不推荐在实际应用中使用。