2022-08-14我们该怎么认识“数学期望”

我们工作和生活中有很多做决策的时候，需要衡量某件事值不值得做。比如这支股票有30%的概率涨还有40%的下跌，那这个股票到底值不值得买呢？今天我们就来聊聊数学期望。

1. 数学期望是对长期价值的数字化衡量

数学期望值是理想状态下得到的实验结果的平均值，是试验中每次可能的结果概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。它来自17世纪的一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡的挑战。

这个赌徒给帕斯卡出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

我们简单算一下：因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。

可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

几乎所有金融产品的价值，比如基金、股票是否值得投资，也都可以使用数学期望来衡量。如果赢的期望超过输的期望，也就是说，如果数学期望是正的，就证明它值得长期投资，这就是所谓的价值投资的真谛。通过计算数学期望，我们就能知道一个游戏是不是值得玩，也能知道哪些事值得做，哪些险不值得冒。

需要注意的是，期望值是该变量输出值的平均数，它是我们做决策参考的锚定点，是长期、理想状态下的结果，期望值并不一定等同于常识中的“期望”，“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

2.计算数学期望的前提是把结果数值化

数学期望之所以有效，也是因为大数定律在背后起作用。大数定律把局部的随机性变成了整体上的确定性，也就是概率。而数学期望又把概率代表的长期价值变成了一个具体的数字，方便我们比较。当然，明天我们可以开单章聊聊大数定律，可以给我们带来很多思考的启发。

咱们书归正传继续聊“期望”。用数学期望衡量长期价值也有一个前提，就是所有随机出现的结果都必须数值化，也就是变成一个具体的数，只有这样，我们才能计算。比如你问“回老家工作好，还是留北京工作好”，如果只停留在“留北京工作机会多，但竞争压力大；回老家生活压力小，但发展机会少”这些条件上，就没法计算数学期望。只有赋予每个结果具体的数字，比如工作机会多对自己很重要，打10分；竞争压力小对自己没那么重要，打5分……这个问题才真正变得可以比较，这也是数学思维的好处。

3. 你的“期望”并不是我“想要的”

前面我们说计算数学期望要对具体事项赋予相应的数值才能计算，就这个赋值的过程是个体的个性的。每个人对于同一件事所赋予的值是不一样的，计算出的数学期望对每个个体来说，就都是不一样的。这种个体的主观考量，只影响数学期望的计算结果，而不妨碍数学期望起作用。

举个例子，左轮手枪有6个弹仓，里面放1发子弹，其他5个弹仓是空的。对着自己的脑袋打一枪，如果空枪，你就赢了，奖金100万；如果有子弹，你就挂了，什么都没有。就问你愿不愿意玩这个游戏？这里面就看你对自己的生命赋予多大的价“值”了。

如果你觉的生命是无价的，这个游戏永远都不要碰，一旦你碰了也许你赢了99次，只要第一百次你输了也全部都输了。1978年，美国芝加哥摇滚乐队的首席歌手特里·卡什，就在玩这种游戏时送了命，他可能是觉得玩游戏时获得的某些东西比命更有价值。

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参考资料：

1. 得到app《刘嘉·概率论22讲》《吴军·数学通识50讲》《万维钢·精英日课》。

2. 《吴军数学通识讲义》吴军著，新星出版社2021年4月出版。

3. 百度百科《数学期望》。

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