判断两直线是否相交

原博客链接：https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/9390376.html。写的真是太好了，超赞！！！！

问题：给出两条线段，问两线段是否相交？

 

首先我们要明白一个定理：向量a×向量b（×为向量叉乘），若结果小于0，表示向量b在向量a的顺时针方向；若结果大于0，表示向量b在向量a的逆时针方向；若等于0，表示向量a与向量b平行。（顺逆时针是指两向量平移至起点相连，从某个方向旋转到另一个向量小于180度）。如下图：

在上图中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆时针方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0，后一个在前一个的逆时针方向；小于零，后一个在前一个的顺时针方向。

那如何来判断两线段是否相交呢？

假设有两条线段AB，CD，若AB，CD相交，我们可以确定：

1.线段AB与CD所在的直线相交，即点A和点B分别在直线CD的两边；

2.线段CD与AB所在的直线相交，即点C和点D分别在直线AB的两边；

上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件，所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边，点C和点D分别在直线AB的两边，这样便可以证明线段AB与CD相交了。

 

那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢？有，我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图：

 

在上图中，线段AB与线段CD相交，于是我们可以得到两个向量AC，AD，C和D分别在AB的两边，向量AC在向量AB的逆势针方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的顺势针方向，AB×AD < 0，两叉乘结果异号。

这样，方法就出来了：如果线段CD的两个端点C和D，与另一条线段的一个端点（A或B，只能是其中一个）连成的向量，与向量AB做叉乘，若结果异号，表示C和D分别在直线AB的两边，若结果同号，则表示CD两点都在AB的一边，则肯定不相交。

当然，不能只证明C，D在直线AB的两边，还要用相同的方法证明A，B在直线CD的两边，两者同时满足才是线段相交的充要条件。

 

不过，线段相交还有一些特殊情况：

1.只有1点相交，如下图：

 

上图中，线段AB与CD相交于C点，按照之前介绍的方法，我们可以连成两向量AD和AC，这时候，我们发现，AC与AB共线，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；两者并不异号，可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中，有一方为0，也可以看成点CD在直线AB的两边。

 

2.两条线段重合，如下图：

 

在上图中，线段AB与线段CD重合，重合部分为CB，这种重合的情况要特殊判断：

首先，我们给没条线段的两个端点排序，大小判断方法如下：横坐标大的点更大，横坐标相同，纵坐标大的点更大。

排好序后，每条线段中，小的点当起点，大的当终点。我们计算向量AB×向量CD，若结果为0，表示线段AB平行CD，平行才有了重合的可能；但平行也分共线和不共线，只有共线才有可能重合，看下图：

上图中，第一种情况不共线，第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢？

我们可以在两条线段中各取一点，用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘，结果若为0，就表示两线段共线，如下图：

我们取向量BC，若BC×CD = 0，表示两点共线，即是第二种情况，否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线？因为他们没有相交。。。（尬）

然然然然然而，即使他们共线，却还是不一定重合，就如上图中第二种情况。这时候，之前给点排序的妙处就体现出来了：

若一条线段AB与另一条线段CD共线，且线段AB的起点小于等于线段CD的起点，但线段AB的终点（注意是终点）大于等于线段CD的起点（注意是起点），或者交换一下顺序，CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个，就表示有重合部分。