C/C++ 最短路径-Floyd算法 (路径的保存和输出)

一、最短路径

• 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
• 算法具体的形式包括：
  • 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。
  • 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
  • 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
  • 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

二、Floyd算法（弗洛伊德算法）

算法步骤

将v_i到v_j的最短路径长度初始化，即D[i][j]=G.arcs[i][j],然后进行n次比较和更新。

• 在v_i和v_j间加入顶点v₁,比较（v_i, v_j)和（v_i, v₁, v_j)的路径长度，取其中较短者作为v_i到v_j的中间顶点序号不大于0的最短路径。
• 在v_i和v_j间加入顶点v₁,得到（v_i, … , v₁) 和（v₁, … ,v_j),其中（v_i, … , v₁) 是v₁到v_j的且中间顶点的序号不大于0的最短路径，（v1,··,v)是v到v的且中间顶点的序号不大于0的最短路径，这两条路径已在上一步中求出。比较（v_i, … , v₁, … , v_j)与上一步求出的v_i到v_j的中间顶点序号不大于0的最短路径，取其中较短者作为v_i到v_j的中间顶点序号不大于1的最短路径。
• 依次类推，在v_i和v_j间加入顶点v₁,若（v_i, … , v_k)和（v_k, … ,v_j)分别是从v_i到v_k以和从v_k到v_j的中间顶点的序号不大于k-1的最短路径，则将（vi, … , v_k , ··· , v_j)和已经得到的从v_i到v_j且中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度较短者便是从v_i到v_j的中间顶点的序号不大于k的最短路径。这样，经过n次比较后，最后求得的必是从v_i到v_j的最短路径。
• 按此方法，可以同时求得各对顶点间的最短路径。

三、举一个栗子（1076 : Floyd-Warshall）

Description

暑假，小哼准备去一些城市旅游。有些城市之间有公路，有些城市之间则没有，如下图。为了节省经费以及方便计划旅程，小哼希望在出发之前知道任意两个城市之前的最短路程。

Input

• 第一行四个数为n,m，n表示顶点个数，m表示边的条数。
• 接下来m行，每一行有三个数t₁、t₂ 和t₃，表示顶点t₁到顶点t₂的路程是t₃。请注意这些t₁->t₂是单向的。

Output

输出一个n*n的矩阵，第n行第n列表示定点n到n的距离。每一行两个数间由空格隔开

Sample Input

5 8
1 2 2
2 3 3
3 4 4
4 5 5
5 3 3
3 1 4
2 5 7
1 5 10

Sample Output

0 2 5 9 9
7 0 3 7 7
4 6 0 4 9
12 14 8 0 5
7 9 3 7 0

code

详见注释

#include 
#define Max 503
#define INF 0xcffff

using namespace std;

typedef struct AMGraph {						//定义邻接矩阵
	int vex, arc;
	int arcs[Max][Max];
};

int dis[Max][Max], path[Max][Max];				//dis存最短路程，path保存路径

void Floyd(AMGraph &G)							//弗洛伊德算法
{
	for (int i = 1; i <= G.vex; i++)			//初始化dis和path
		for (int j = 1; j <= G.vex; j++)
		{
			dis[i][j] = G.arcs[i][j];
			if (dis[i][j] != INF&&i != j) path[i][j] = i;
			else path[i][j] = -1;
		}
			
	/***************Floyd核心算法****************/
	for(int k=1; k<=G.vex; k++)					//遍历每个点
		for(int i=1; i<=G.vex; i++)				//遍历每条边
			for (int j = 1; j <= G.vex; j++)
			{
				if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]) {	
					dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];			//松弛操作
					path[i][j] = k;								//保存j前驱结点k
				}
			}
}

void find(int x, int y)							//输出路径
{
	if (path[x][y] == x) return ;					//如果x,y之间无节点，则结束查找
	int t = path[x][y];								//如果x,y之间具有节点t，则查找t, y
	cout << "->" << t;
	find(t, y);
	return;
}

void putin(AMGraph &G)							//输入图
{
	int u, v, w;
	
	cin >> G.vex >> G.arc;

	for (int i = 1; i <= G.vex; i++)			//初始化邻接矩阵
		for (int j = 1; j <= G.vex; j++)
		{
			if (i == j) G.arcs[i][j] = 0;
			else G.arcs[i][j] = INF;
		}

	for (int i = 0; i < G.arc; i++)
	{
		cin >> u >> v >> w;
		G.arcs[u][v] = w;
//		G.arcs[v][u] = w;
	}
}

void putout(AMGraph &G)							//输出最短路矩阵、起点v1到各点的最短距离和路径
{
	//cout << "最短路矩阵为：\n";
	for (int i = 1; i <= G.vex; i++)
	{
		for (int j = 1; j < G.vex; j++)
			cout << path[i][j] << " ";
		cout << path[i][G.vex] << endl;
	}
	for (int i = 2; i <= G.vex; i++)			
	{
		cout << "从初始点 v1 到 v" << i << "的最短路径路程为:" << dis[1][i] << endl;
		cout << "路径为: 1";
		find(1, i);
		cout << "->" << i << endl;
	}
}

int main()
{
	AMGraph G;
	putin(G);
	Floyd(G);
	putout(G);
	return 0;
}

运行截图

去注释打印路径结果

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蒟蒻一只，欢迎指正