洛谷题解——P1114:“非常男女”计划

题目相关

题目链接

洛谷,https://www.luogu.com.cn/problem/P1114。

计蒜客,https://nanti.jisuanke.com/t/T1853。

我的OJ,http://47.110.135.197/problem.php?id=5252。

题目描述

近来,初一年的XXX小朋友致力于研究班上同学的配对问题(别想太多,仅是舞伴),通过各种推理和实验,他掌握了大量的实战经验。例如,据他观察,身高相近的人似乎比较合得来。

万圣节来临之际,XXX准备在学校策划一次大型的“非常男女”配对活动。对于这次活动的参与者,XXX有自己独特的选择方式。他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人。这种选择方式实现起来很简单。他让学校的所有人按照身高排成一排,然后从中选出连续的若干个人,使得这些人中男女人数相等。为了使活动更热闹,XXX当然希望他能选出的人越多越好。请编写程序告诉他,他最多可以选出多少人来。

输入格式

第一行有一个正整数 n,代表学校的人数。n ≤ 100000

第二行有 n 个用空格隔开的数,这些数只能是 0 或 1,其中,0 代表一个女生,1 代表一个男生。

输出格式

输出一个非负整数。这个数表示在输入数据中最长的一段男女人数相等的子序列长度。

如果不存在男女人数相等的子序列,请输出 0。

输入样例

9
0 1 0 0 0 1 1 0 0

输出样例

6

题目分析

题意分析

找出 n 个长度数列中,最长的子序列 [l, r],该子序列包含相同多的 0 和 1。这个什么意思?我们思考一下。数组中的数组只有 0 和 1 两种。假设 [l, r] 之前有 x 个元素,那么 \sum_{i=l}^{r}a_i 的值应该是多少呢?聪明的你是不是立马想到了,这个和应该是 \frac{x}{2}。现在应该可以反应出,首先我们需要计算前缀和。

样例数据分析

输入样例数据为 [0 1 0 0 0 1 1 0 0],那么对应的前缀和为 [0 0 1 1 1 1 2 3 3 3]。由于题目要求我们是想同的男生女生,意味着结果必然为偶数。样例数据为 9 个,因此最大的长度只能为 8。思路就是能否找到 2、4、6、8 个的子序列。下面我们绘制一个表格,来模拟一下暴力计算的过程。

l r 人数 sum[r]-sum[l-1] 符合? 备注
2 9 8 3-0=3  
1 8 8 3-0=3  
4 9 6 3-1=2  
3 8 6 3-1=2  
2 7 6 3-0=3 6人可以,就不需要验证 4 人组合

如上表所示,最终最长的序列为 6。

数据范围分析

根据题目提供的数据范围,我们可以知道 n 最大值为 10000,因此 O(n^{2}) 复杂度的算法是没有办法通过的。由于数据量比较小,我们可以进行减枝操作,参考上面的思路,勉强可以通过。根据最不利原则,我们可以知道,算法的复杂度变为 O(\frac{1}{2}n^{2})(实际是没有这个复杂度的)。

算法优化

能否将上面的 O(nlogn) 算法优化为 O(n)?

我们需要对原始数据进行简单处理。原数据中,女生用 0 表示,男生用 1 表示,我们将其改为对称,即女生用 -1 表示,男生用 1 表示,这样只要是成对的男生女生,对应和为 0。下面我们同样用样例数据进行分析:

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
原始数据 0 1 0 0 0 1 1 0 0
修改后数据 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1
前缀和 -1 0 -1 -2 -3 -2 -1 -2 -3

经过修改后的数据,假设 [l, r] 之前有 x 个元素,如果男生和女生数量一样多,必然这个 \sum_{i=l}^{r}a_i,即 sum[r] = sum[l-1]。

因此我们在计算前缀和的同时,建立一张哈希表,如上表所示,我们可以得到如下哈希表。

洛谷题解——P1114:“非常男女”计划_第1张图片

如上图所示,第一列数据为哈希表值,后面为对应哈希值的前缀和索引。我们可以看到以下几个信息:

1、前缀和为 0 只有一个数据,因此肯定无法组成男女组合。

2、前缀和为 -1 有三个数据,最小前缀和下标为 1,最大前缀和下标为 7,表明有 6 个人可以组成男女组合,即原数组下标 2 ~ 7 的数据,对应为 1 0 0 0 1 1,也就是 3 男 3 女。

3、 前缀和为 -2 有三个数据,最小前缀和下标为 4,最大前缀和下标为 8,表明有 4 个人可以组成男女组合,即原数组下标 5 ~ 8 的数据,对应为   0 1 1 0,也就是 2 男 2 女。

4、 前缀和为 -3 有两个数据,最小前缀和下标为 5,最大前缀和下标为 9,表明有 4 个人可以组成男女组合,即原数组下标 6 ~ 9 的数据,对应为   1 1 0 0,也就是 2 男 2 女。

AC 参考代码

暴力减枝实现

如果数据量超过 1e5,估计这个算法就力不从心了。部分要获得 TLE。

#include 
using namespace std;

const int MAXN = 1e5+4;
int nums[MAXN];//原始数据
int qzh[MAXN];//前缀和

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for (int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &nums[i]);
        qzh[i] = qzh[i-1]+nums[i];
    }

    /*
    i表示构造长度
    j表示起点
     */
    int m= (1==n%2) ? n-1 : n;
    for (int i=m; i>=2; i-=2) {
        //n,n/2,n/4,...,4,2 的长度进行验证
        for (int j=n; j-i>=0; j--) {
            if ((qzh[j]-qzh[j-i])*2==i) {
                printf("%d\n", i);
                return 0;
            }
        }
    }
    printf("0\n");

    return 0;
}

优化算法实现

我们知道 unordered_map 内部实现使用的是哈希表,所以我们可以使用 STL 的这个类型。

#include 
#include 

using namespace std;

const int MAXN = 1e5+4;
int nums[MAXN];//前缀和

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    unordered_map hash;
    hash[0] = 0;//特例处理
    int ans = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &nums[i]);
        if (0==nums[i]) {
            nums[i] = -1;
        }
        nums[i] += nums[i-1];//构造前缀和

        if (hash.find(nums[i]) == hash.end()) {
            //第一次出现,增加到哈希表中
            hash[nums[i]] = i;
        } else if (i-hash[nums[i]]>0 && i-hash[nums[i]]>ans) {
            //出现过
            ans = i-hash[nums[i]];
        }
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

使用 unordered_map,要注意一些特殊例子。如输入为

4
1 0 0 1

 

 

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