洛谷题解——P1114：“非常男女”计划
题目相关
题目链接
洛谷，https://www.luogu.com.cn/problem/P1114。
计蒜客，https://nanti.jisuanke.com/t/T1853。
我的OJ，http://47.110.135.197/problem.php?id=5252。
题目描述
近来，初一年的XXX小朋友致力于研究班上同学的配对问题（别想太多，仅是舞伴），通过各种推理和实验，他掌握了大量的实战经验。例如，据他观察，身高相近的人似乎比较合得来。
万圣节来临之际，XXX准备在学校策划一次大型的“非常男女”配对活动。对于这次活动的参与者，XXX有自己独特的选择方式。他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人。这种选择方式实现起来很简单。他让学校的所有人按照身高排成一排，然后从中选出连续的若干个人，使得这些人中男女人数相等。为了使活动更热闹，XXX当然希望他能选出的人越多越好。请编写程序告诉他，他最多可以选出多少人来。
输入格式
第一行有一个正整数 n，代表学校的人数。n ≤ 100000
第二行有 n 个用空格隔开的数，这些数只能是 0 或 1，其中，0 代表一个女生，1 代表一个男生。
输出格式
输出一个非负整数。这个数表示在输入数据中最长的一段男女人数相等的子序列长度。
如果不存在男女人数相等的子序列，请输出 0。
输入样例
9
0 1 0 0 0 1 1 0 0输出样例
6题目分析
题意分析
找出 n 个长度数列中，最长的子序列 [l, r]，该子序列包含相同多的 0 和 1。这个什么意思？我们思考一下。数组中的数组只有 0 和 1 两种。假设 [l, r] 之前有 x 个元素，那么 
的值应该是多少呢？聪明的你是不是立马想到了，这个和应该是 
。现在应该可以反应出，首先我们需要计算前缀和。
样例数据分析
输入样例数据为 [0 1 0 0 0 1 1 0 0]，那么对应的前缀和为 [0 0 1 1 1 1 2 3 3 3]。由于题目要求我们是想同的男生女生，意味着结果必然为偶数。样例数据为 9 个，因此最大的长度只能为 8。思路就是能否找到 2、4、6、8 个的子序列。下面我们绘制一个表格，来模拟一下暴力计算的过程。
| l | r | 人数 | sum[r]-sum[l-1] | 符合？ | 备注 |
| 2 | 9 | 8 | 3-0=3 | ✘ | |
| 1 | 8 | 8 | 3-0=3 | ✘ | |
| 4 | 9 | 6 | 3-1=2 | ✘ | |
| 3 | 8 | 6 | 3-1=2 | ✘ | |
| 2 | 7 | 6 | 3-0=3 | ✔ | 6人可以，就不需要验证 4 人组合 |
如上表所示，最终最长的序列为 6。
数据范围分析
根据题目提供的数据范围，我们可以知道 n 最大值为 10000，因此 
复杂度的算法是没有办法通过的。由于数据量比较小，我们可以进行减枝操作，参考上面的思路，勉强可以通过。根据最不利原则，我们可以知道，算法的复杂度变为 
（实际是没有这个复杂度的）。
算法优化
能否将上面的 O(nlogn) 算法优化为 O(n)？
我们需要对原始数据进行简单处理。原数据中，女生用 0 表示，男生用 1 表示，我们将其改为对称，即女生用 -1 表示，男生用 1 表示，这样只要是成对的男生女生，对应和为 0。下面我们同样用样例数据进行分析：
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 原始数据 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 修改后数据 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 前缀和 | -1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -2 | -1 | -2 | -3 |
经过修改后的数据，假设 [l, r] 之前有 x 个元素，如果男生和女生数量一样多，必然这个 ，即 sum[r] = sum[l-1]。
因此我们在计算前缀和的同时，建立一张哈希表，如上表所示，我们可以得到如下哈希表。
如上图所示，第一列数据为哈希表值，后面为对应哈希值的前缀和索引。我们可以看到以下几个信息：
1、前缀和为 0 只有一个数据，因此肯定无法组成男女组合。
2、前缀和为 -1 有三个数据，最小前缀和下标为 1，最大前缀和下标为 7，表明有 6 个人可以组成男女组合，即原数组下标 2 ~ 7 的数据，对应为 1 0 0 0 1 1，也就是 3 男 3 女。
3、 前缀和为 -2 有三个数据，最小前缀和下标为 4，最大前缀和下标为 8，表明有 4 个人可以组成男女组合，即原数组下标 5 ~ 8 的数据，对应为 0 1 1 0，也就是 2 男 2 女。
4、 前缀和为 -3 有两个数据，最小前缀和下标为 5，最大前缀和下标为 9，表明有 4 个人可以组成男女组合，即原数组下标 6 ~ 9 的数据，对应为 1 1 0 0，也就是 2 男 2 女。
AC 参考代码
暴力减枝实现
如果数据量超过 1e5，估计这个算法就力不从心了。部分要获得 TLE。
#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+4;
int nums[MAXN];//原始数据
int qzh[MAXN];//前缀和
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d", &nums[i]);
qzh[i] = qzh[i-1]+nums[i];
}
/*
i表示构造长度
j表示起点
*/
int m= (1==n%2) ? n-1 : n;
for (int i=m; i>=2; i-=2) {
//n,n/2,n/4,...,4,2 的长度进行验证
for (int j=n; j-i>=0; j--) {
if ((qzh[j]-qzh[j-i])*2==i) {
printf("%d\n", i);
return 0;
}
}
}
printf("0\n");
return 0;
} 优化算法实现
我们知道 unordered_map 内部实现使用的是哈希表，所以我们可以使用 STL 的这个类型。
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+4;
int nums[MAXN];//前缀和
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
unordered_map hash;
hash[0] = 0;//特例处理
int ans = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d", &nums[i]);
if (0==nums[i]) {
nums[i] = -1;
}
nums[i] += nums[i-1];//构造前缀和
if (hash.find(nums[i]) == hash.end()) {
//第一次出现，增加到哈希表中
hash[nums[i]] = i;
} else if (i-hash[nums[i]]>0 && i-hash[nums[i]]>ans) {
//出现过
ans = i-hash[nums[i]];
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
} 使用 unordered_map，要注意一些特殊例子。如输入为
4
1 0 0 1