代码随想录 | Day 52 - LeetCode 300. 最长递增子序列、LeetCode 674. 最长连续递增序列、LeetCode 718. 最长重复子数组

        今天的三道题都是要将dp[i]定义为“以数组的第i位为子序列末尾的子序列长度”。重点是该序列一定包含数组的第i位，要在此基础上来判断这一结果的来源。并且如果第i位不满足要求的话，就要将dp[1]重新设置为0或1或其他值。

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        第1题（LeetCode 300. 最长递增子序列）自己想到了解法。dp数组定义是这道题的关键，将dp[i]定义为“从nums开头到下标i为末尾的部分中，以nums[i]为末尾的最长递增子序列长度”。也就是说，dp[i]对应的子序列中必须包含nums[i]。而这一序列除过nums[i]的上一位置，可能是nums[i]前面的任意一个数字。所以要计算dp[i]的话，就要从0遍历到(i - 1)位置，遇到比nums[i]小的数字nums[j]，就将dp[j]加上1，然后取所有dp[j] + 1（j < i）当中的最大值作为dp[i]的结果。所以状态转移方程为dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)（j < i），只有当nums[j] < nums[i]时才进行这一操作。遍历方向上，外层和内层都是正向遍历。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        vector dp(nums.size(), 1);
        dp[0] = 1;
        int ans = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

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        第2题（LeetCode 674. 最长连续递增序列）比较简单，相比上一题，对递增子序列加上了“连续”的限制。这样一来，dp[i]对应的序列的上一数字，只能是nums[i - 1]。否则，就从nums[i]开始重新记录子序列。所以这一题的dp数组定义仍然沿用上一题的，dp[i]定义为“从nums开头到下标i为末尾的部分中，以nums[i]为末尾的最长连续递增子序列长度”。这一定义只限制了子序列末尾必须为nums[i]，而没有限制开头是哪个。

        由于dp[i]只与nums[i - 1]和dp[i - 1]相关，所以不再需要内层循环，只要在外层循环正向遍历，判断前一数字与当前数字的大小关系。如果当前数字更大，就将字序列长度加1；否则，就将子序列长度重新设置为1。

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector& nums) {
        vector dp(nums.size());
        dp[0] = 1;
        int ans = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) {
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            }
            else {
                dp[i] = 1;
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

        题解中还有贪心解法。思路就是遇到比前一数字更大的数字就将计数cnt加1，否则就将其重新设置为1，并在变力的过程中统计cnt的最大值作为最终结果。

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector& nums) {
        int ans = 1, cnt = 1;
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) {
                cnt++;
            }
            else {
                cnt = 1;
            }
            ans = max(ans, cnt);
        }
        return ans;
    }
};

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        第3题（LeetCode 718. 最长重复子数组）也不是很难，自己想到解法。这一题要用到二维dp数组，dp[i][j]定义为“对于nums1的[0, i]部分，nums2的[0, j]部分，两者分别以nums1[i]和nums2[j]结尾的最长重复子数组长度”。当nums1[i]与nums2[j]相等时，这一长度就在dp[i - 1][j - 1]的基础上再增加1；而不相等时，就要重新归零。

        dp每个位置都依赖于其左上角的数字，所以要初始化第0行和第0列。具体的方式就是遇到nums1/nums2某一位置的数字与nums2[0]/nums1[0]想等时，就将该位置的dp值设置为1，其他位置都为0。也正因为每个位置都依赖于其左上角，所以双重循环都正向遍历。在遍历过程中，要不断更新最大值作为最终的结果。

class Solution {
public:
    int findLength(vector& nums1, vector& nums2) {
        vector> dp(nums1.size(), vector(nums2.size(), 0));
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j < nums2.size(); ++j) {
            if (nums2[j] == nums1[0]) {
                dp[0][j] = 1;
                ans = 1;
            }
        }
        for (int i = 1; i < nums1.size(); ++i) {
            if (nums1[i] == nums2[0]) {
                dp[i][0] = 1;
                ans = 1;
            }
        }
        for (int i = 1; i < nums1.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j < nums2.size(); ++j) {
                if (nums1[i] == nums2[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                else {
                    dp[i][j] = 0;
                }
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
        return ans;
    }
};

        题解在实现上更为简洁，主要区别是在定义上将dp[i][j]对应的位置从nums1[i]和nums2[j]，变为了nums1[i - 1]和nums2[j - 1]。这样一来，虽然dp矩阵的大小要设置为（nums1.size() + 1, nums2.size() + 1），但不再需要初始化nums1[0]和nums2[0]对应的第1行和第1列了。只需要将无物理含义的第0行和第0列全部初始化为0，然后从第1行、第1列开始双重循环就可以。

class Solution {
public:
    int findLength(vector& nums1, vector& nums2) {
        vector> dp(nums1.size() + 1, vector(nums2.size() + 1, 0));
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); ++i) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); ++j) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) { // 不再是nums1[i] == nums2[j]
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                else {
                    dp[i][j] = 0;
                }
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
        return ans;
    }
};

        这种实现方法需要注意，在判断两数字是否相等的时候，要将下标从i、j改为(i - 1)、(j - 1)。

        再次由于每个位置的dp值只依赖于其左上方，所以可以用节省空间的方法，将dp矩阵压缩为一维数组来实现。为避免当前行将上一行的值覆盖，导致当前位置右边的数字丢失原本左上角数字，所以内层循环要改为逆向。

class Solution {
public:
    int findLength(vector& nums1, vector& nums2) {
        vector dp(nums2.size() + 1, 0);
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); ++i) {
            for (int j = nums2.size(); j >= 1; --j) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) { // 不再是nums1[i] == nums2[j]
                    dp[j] = dp[j - 1] + 1;
                }
                else {
                    dp[j] = 0;
                }
                ans = max(ans, dp[j]);
            }
        }
        return ans;
    }
};