数学之美（三十四）

数学的极限——希尔伯特第十问题和机器智能的极限

计算机解决很多智能问题后，人们对人工智能的态度渐渐从怀疑变成迷信，他们不知道计算机的能力有数学上的边界，这一边界如同物理学的光速极限，在最根本层面限制了计算机的能力（与技术无关，仅取决于数学本身的限制），具体到今天大家使用的计算机，有两条不可逾越的边界，分别由图灵和希尔伯特划定。

1 图灵划定计算机可计算问题的边界

通常认为20世纪智商能跟爱因斯坦媲美的只有图灵和冯诺依曼二人（可能跨19、20世纪的希尔伯特也算一个），一般人是从具体问题出发，一点点解决复杂问题，而大神是从问题的本源出发思考，像站在宇宙之外似的看清楚问题的边界。比如一般人的思维是从马车到汽车到飞机到火箭，速度越来越快，将来技术发展可能会超越光速，而爱因斯坦直接判断光速是宇宙的极限速度。有时间幻想超越极限，不如在极限内把事做好，今天做半导体的人就是根据摩尔定律在边界内持续改进，可见守住边界踏实做事的人比幻想突破极限的人更容易取得成就。

今天机器智能显得很强大，是因为人们掌握了让机器拥有智能的正确方法，找到了大数据、摩尔定律和数学模型三个支柱。数学模型把实际问题变成计算问题（前提是这些问题的本质是数学问题，且可以用计算机计算），当科学家揭开了一个个问题的数学本质后，难免会以为这样的进步没有极限，以至于浪费时间解决根本解决不了或没必要解决的问题。外行人担心机器控制人还情有可原（缺少相关知识），但从业者如果不知道机器发展的边界，就是思维方式的问题了。大部分人只注意脚下的进步，看不清大格局。

下图是通常的学识增长过程。小学学最重要的基础知识（中心的圆），到中学学更多的基础知识（第二圈圆），到大学在某个方向大大增长知识，并拓宽了知识的边界（第三圈圆），这些知识通常是对前人经验的学习，到博士阶段（或从事专业工作）就开始创造出前人不知道的知识（在原有边界上突出的部分，图中进行了放大，实际可能是一个小包）。

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在大部分博士生和专业人士看来，知识的边界如下图所示：他们研究的领域占据人类知识的中心，而且比重很大；接下来绝大部分领域知识已被认识，或边界已被洞察到，剩下的只是修修补补，填满整个扇形空间，比如相对论出现前大家对物理的认识。

但真实的知识边界远非如此，我们对人类知识的贡献可能只是在这个巨大空间中加入了一个点，而在边界内还有很多未知区域，它们对我们来说依然是虚空。当然边界外的虚空更大。

图灵思考的方式恰好和常人相反，他先划定这件事情的边界，边界内问题可以通过计算解决，边界外可能有更多问题，因为不能用计算解决，我们不予考虑。边界内问题如何解决，图灵也不清楚，他把解决具体问题的机会留给了后人，他负责划定边界，并为边界内问题提供通用方法。有了边界后，人们就不必浪费时间考虑边界外的事了。
1930s中期，图灵对“可计算”思考了三个本源问题：1、是否所有的数学问题都有明确答案；2、如果一个问题有答案，能否通过有限步计算得到答案，如果没有答案，能否通过有限步推演证实；3、对能在有限步计算的数学问题，是否有一种机器能不断运转，机器停下时数学问题就解出了。

图灵有两个精神导师：一是冯诺依曼，二是希尔伯特，图灵在思考可计算性时，受冯诺依曼《量子力学的数学原理》启发，认识到计算对应确定性的机械运动，而人的意识可能来自于测不准原理。他对于计算具有确定性的认识保证了今天计算机在同样条件下计算出的结果是可重复的。对于人的意识，图灵认为是不确定的，不属于计算范畴，如果他的看法是正确的，那么宇宙本身存在大量数学问题之外的问题。与图灵同时代的数学家哥德尔在1930年证明了数学不可能既是完备的，又是一致的，也就是说有些命题即使是对的，也无法用数学证明，这称为哥德尔不完全性定理，说明数学不是万能的。

哥德尔的判定听起来有些难以理解，可以根据生活经验感受这个结论，比如一个看似拙劣的骗局总是有人上当，因为受骗者碰到的问题不是理性逻辑能解决的，他们面临的问题更不是数学问题，再比如弗洛伊德提出的很多问题也无法用数学建模解决，我们必须承认数学不等于一切。

那么把要解决的问题限制在数学问题，是否它们就都有明确答案呢？今天很多数学问题并没有明确答案，比如不存在一组正整数x,y,z使x^3+y^3=z^3，这个问题是费马大定理的一个特例，1994年英国数学家怀尔斯证明这个方程是无整数解的。知道一个问题无解也算有了答案，那么是否存在一些问题，根本无法判定答案是否存在呢？如果有，这类问题显然无法通过计算解决。在这方面，希尔伯特启发了图灵。