例5：求斐波那契数列变形前n项的和【矩阵乘法】【快速幂】【斐波那契数列】

题目描述

数列 $f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1$ 的前 $n$ 项和 $s[n]$ 的快速求法（不考虑高精度）.

思路

和求斐波那契数列前n项的和相似
转移矩阵为
$$\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right|$$

$Code$

#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=9973;
long long n,a[6][6],ans[6][6];
long long fd[6][6];
void jzcf(int m)
{
	long long c[6][6];
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	    c[i][j]=0;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	  for(int k=1; k<=m; k++)
	     c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*ans[k][j])%mod)%mod;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	    ans[i][j]=c[i][j];
}
void jzcf2(int m)
{
	long long c[6][6];
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	    c[i][j]=0;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	  for(int k=1; k<=m; k++)
	     c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*a[k][j])%mod)%mod;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	 for(int j=1; j<=m; j++)
	    a[i][j]=c[i][j];
}
void jzcf3()
{
	long long c[6][6];
	for(int i=1; i<=5; i++)
	 for(int j=1; j<=5; j++)
	    c[i][j]=0;
	for(int i=1; i<=1; i++)
	 for(int j=1; j<=5; j++)
	  for(int k=1; k<=5; k++)
	     c[i][j]=(c[i][j]+(fd[i][k]*ans[k][j])%mod)%mod;
	for(int i=1; i<=1; i++)
	 for(int j=1; j<=5; j++)
	    fd[i][j]=c[i][j];
}
void ksm(int k)
{
	for(int i=1; i<=3; i++)
	   ans[i][i]=1;
	while(k!=0)
	 {
	 	if(k&1)
	 	  jzcf(5);
	 	jzcf2(5);
	 	k>>=1;
	 }
}
int main()
{
	cin>>n;
	a[1][1]=0,a[1][2]=1,a[1][3]=0,a[1][4]=0,a[1][5]=0;
	a[2][1]=1,a[2][2]=1,a[2][3]=1,a[2][4]=0,a[2][5]=0;
	a[3][1]=0,a[3][2]=0,a[3][3]=1,a[3][4]=0,a[3][5]=0;
	a[4][1]=0,a[4][2]=1,a[4][3]=0,a[4][4]=1,a[4][5]=0;
	a[5][1]=0,a[5][2]=1,a[5][3]=0,a[5][4]=1,a[5][5]=1;
	fd[1][1]=1,fd[1][2]=1,fd[1][3]=1,fd[1][4]=3,fd[1][5]=1;
	ksm(n-1);
	jzcf3();
    cout<<fd[1][3];
	return 0;
}