数列 f [ n ] = f [ n − 1 ] + f [ n − 2 ] + n + 1 , f [ 1 ] = f [ 2 ] = 1 f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1 f[n]=f[n−1]+f[n−2]+n+1,f[1]=f[2]=1 的前 n n n 项和 s [ n ] s[n] s[n] 的快速求法(不考虑高精度).
和求斐波那契数列前n项的和相似
转移矩阵为
∣ 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 ∣ \begin{vmatrix}0&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\0&1&0&1&1\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0100011011011000001100001∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=9973;
long long n,a[6][6],ans[6][6];
long long fd[6][6];
void jzcf(int m)
{
long long c[6][6];
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
c[i][j]=0;
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
for(int k=1; k<=m; k++)
c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*ans[k][j])%mod)%mod;
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
ans[i][j]=c[i][j];
}
void jzcf2(int m)
{
long long c[6][6];
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
c[i][j]=0;
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
for(int k=1; k<=m; k++)
c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*a[k][j])%mod)%mod;
for(int i=1; i<=m; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
a[i][j]=c[i][j];
}
void jzcf3()
{
long long c[6][6];
for(int i=1; i<=5; i++)
for(int j=1; j<=5; j++)
c[i][j]=0;
for(int i=1; i<=1; i++)
for(int j=1; j<=5; j++)
for(int k=1; k<=5; k++)
c[i][j]=(c[i][j]+(fd[i][k]*ans[k][j])%mod)%mod;
for(int i=1; i<=1; i++)
for(int j=1; j<=5; j++)
fd[i][j]=c[i][j];
}
void ksm(int k)
{
for(int i=1; i<=3; i++)
ans[i][i]=1;
while(k!=0)
{
if(k&1)
jzcf(5);
jzcf2(5);
k>>=1;
}
}
int main()
{
cin>>n;
a[1][1]=0,a[1][2]=1,a[1][3]=0,a[1][4]=0,a[1][5]=0;
a[2][1]=1,a[2][2]=1,a[2][3]=1,a[2][4]=0,a[2][5]=0;
a[3][1]=0,a[3][2]=0,a[3][3]=1,a[3][4]=0,a[3][5]=0;
a[4][1]=0,a[4][2]=1,a[4][3]=0,a[4][4]=1,a[4][5]=0;
a[5][1]=0,a[5][2]=1,a[5][3]=0,a[5][4]=1,a[5][5]=1;
fd[1][1]=1,fd[1][2]=1,fd[1][3]=1,fd[1][4]=3,fd[1][5]=1;
ksm(n-1);
jzcf3();
cout<<fd[1][3];
return 0;
}