[Acwing] 1303. 斐波那契前 n 项和 矩阵快速幂

前言

在计算斐波那契数列的时候,$F[n]=F[n-1]+F[n-2]$,因此$F[n]$直接相关于$F[n-1],F[n-2]$ , 因此我们只需要记录最近的两个斐波那契数列即可

因此我们定义$f(n)=[F_n,F_{n+1}]$ (一个一行两列的矩阵
因此有$f(n+1)=[F_{n+1},F_{n+2}]$

因此我们可以构造系数矩阵$A$ 完成两者的传递关系

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

其实这个是可以一眼看出的 , 首先说明$C_{ij}={\sum }_{k=1}^m{A}_{im}\ast B_{mj}$这是矩阵$A\ast B$的公式,也就是当前的项为前一个的行乘后一个的列

因此$f(n)\ast A=[F_n,F_{n+1}]\ast \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=[F_n\ast 0+F_{n+1}\ast 1,F_n\ast 1+F_{n+1}\ast 1]=[F_{n+1},F_n+F_{n+1}]=[F_n,F_{n+2}]$

如果我们需要求第$n$项,$F_n=F_0\ast A^n$
因为矩阵没有交换律只有结合律, 也就满足$A_n=A_1\ast A_2\ast A_4...$

这是普通的求项,但是这题求的是前缀和

思路

同理我们令

$F_n=[f_n,f_{n+1},S_n](这里的F,f和上面的不一样了,和y总讲解统一$

$F_{n+1}=[f_{n+1},f_{n+2},S_{n+1}]$

我们同时考虑 $F_n\ast A=F_{n+1}$ 显然这个$A$应该是一共$3\ast 3$的矩阵

首先考虑第一行的也就是$F_{n+1}中的f_{n+1}$
由矩阵乘法可得这个数应该由$F_n$第一行乘$A$中第一列得到的

设$A$的第一例为$x,y,z$显然有方程
$f_n\ast x+f_{n+1}\ast y+S_n\ast z=f_{n+1}$ 则 $x=0,y=1,z=0$ (显然失智,滑稽

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

因此同理$F_n=F_0\ast A^n=F_1\ast A^{n-1}$

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// Problem: 斐波那契前 n 项和
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1305/
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//��һ�δ��Ϻ�վ֮�� ��Ϊʹ��#define int long long TLE���¿��˺ܾõ�ʱ�� ���˼���ģ��
//����ʹ�ø��ӵ�ģ��

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define IOS  ios::sync_with_stdio(false);
#define CIT  cin.tie(0);
#define COT  cout.tie(0);

#define ll long long
#define x first
#define y second
#define pb push_back
#define endl '\n'
#define all(x) (x).begin(),x.end()
#define Fup(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Fde(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)

typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>  Pri_m;
typedef pair<int,int> pii;
typedef vector<int> VI;
map<int,int> mp;

const int N  = 3;
int n,m;
void mul(int c[],int a[],int b[][N]){
	int t[3] = {0};
	for(int i = 0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			t[i]  = (t[i] +  1ll*a[j]*b[j][i])%m;
		}
	} 
	
	memcpy(c,t,sizeof t);
	
}
void mul(int c[][N],int a[][N],int b[][N]){
	int t[N][N] = {0};
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			for(int k=0;k<N;k++){
				t[i][j] = (t[i][j] + 1ll*a[i][k]*b[k][j])%m;
			}
		}
	}
	memcpy(c,t,sizeof t);
}
void solve()
{
	cin>>n>>m;
	int f1[N] = {1,1,1};
	//F_1 , F_2 ,S_1
	int a[N][N] = {
		{0,1,0},
		{1,1,1},
		{0,0,1}
	};
	
	n -- ;
	/**
	我们希望求的是 f1 * A^n-1
	所以n--
	**/
	while(n){
		if(n&1)
		mul(f1,f1,a); //res = res * a
		mul(a,a,a);//a = a*a 
		n>>=1;
	}
	//计算完之后 F[1] = f_N , F_N+1,S_N
	cout<<f1[2]<<endl;
}
/**mYHeart is my algorithm**/

int main()
{
    //int t;cin>>t;while(t -- )
    solve();
    return 0;
}