多项式曲线拟合原理与实现

多项式曲线拟合原理与实现

多项式曲线拟合是一种基于最小二乘法的曲线拟合方法，它通过将给定数据点拟合成一个高次多项式函数来实现。在 Matlab 中，我们可以使用 polyfit 函数实现多项式曲线拟合。

1. 多项式曲线拟合原理

多项式曲线拟合的目的是找到一条曲线来拟合已知的数据点，使得这条曲线在这些数据点处的误差最小。假设有 n 个数据点，我们可以使用一个 (n-1) 阶的多项式函数来拟合这些数据点，这个多项式函数的一般形式为：

y = a0 + a1x + a2x^2 + … + an-1*x^(n-1)

其中，a0, a1, …, an-1 是多项式的系数，这些系数是待求解的参数。我们可以使用最小二乘法来求解这些系数，具体的做法是先定义一个误差函数：

E = sum((yi - f(xi))^2)

其中，yi 是第 i 个数据点的纵坐标，xi 是第 i 个数据点的横坐标，f(x) 是我们要拟合的多项式函数。然后，我们需要求解一个关于系数的方程组，这个方程组可以表示为：

A * X = Y

其中，A 是一个 (n-1)×(n-1) 的矩阵，它的第 i 行第 j 列的元素表示 xi 的 j 次幂，X 是一个列向量，它的第 i 个元素表示多项式的第 i 个系数，Y 是一个列向量，它的第 i 个元素表示 yi。我们可以使用 Matlab 的 polyfit 函数来求解这个方程组，具体的用法如下：

p = polyfit(x, y, n)

其中，x 和 y 表示数据点的横纵坐标，n 表示多项式的次数。返回值 p 是一个包含多项式系数的数组