一.整数分解的唯一性与gcd,lcm
1.
P1072[NOIP2009 提高组] Hankson 的趣味题
题意：已知a,a1,b,b1 x与a的的最大公约数是a1,x与b的最大公倍数是b1
求解有多少满足的x
思路:
gcd(x,a)=a1，x=k1a1,a=k2a1,gcd(k1,k2)=1
反证：gcd(k1,k2)=k(k!=1),k1=kp,k2=kq ->x=kk1a1,a=kk2a1,gcd(x,y)=ka1
结论进一步可推得：对于两个正整数a,b,若gcd(a,b)=k,gcd(a/k,b/k)=1
lcm(x,b)=b1 => x*b/gcd(x,b)=b1 =>gcd(x,b)=x*b/b1 => gcd(b1/b,b1/x)=1
结论进一步可推得：对于两个正整数a,b,若lcm(a,b)=k,gcd(k/a,k/b)=1
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2.
cf1866/problem/B
给定两个数x,y的的质因数分解式Ai，Bi表示x的质数，指数;Ci,Di表示y的质数，指数
求有多少对p,q满足lcm(p,q)=x,gcd(p,q)=y
思路1.p*q=x*y 2.对于某个质数的指数，gcd相当于取min，lcm相当于取max
对于某个素数，
1.若Bi 2.Bi=Di,ans不变
3.Bi>Di,ans=ans*2
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3.
P1593 因子和
求a^b得因子和，对出它对 9901 取模的结果
a<=5e7,b<=5e7
思路：推导过程：整数的唯一分解定理，对a进行质因数分解
a=p1^k1 *p2^k2 *p3^k3 ...*pn^kn->对a^b进行质因数分解
a^b=p1^(k1*b) *p2^(k2*b)...*pn^(kn*b)
因子和求解 ans=(1+p1^1+p1^2...p1^(k1*b))*(1+p2^1+p2^2...p2^(k2*b)*...*(1+pn^1+pn^2...pn^(n*b)
等比数列求和qi^n-1/qi-1相乘
除法逆元
当qi-1与mod互质时，逆元为pow(qi-1,mod-2)
不互质时，(p-1)%mod==0,p%mod==1,->(1+pi^1+pi^2...pi^(k1*b))%mod->1+k1*b
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4.
P1414 又是毕业季II
题意：老师给每位同学评了一个能力值。从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大
总共 n 行，第i 行为k=i情况下的最大默契程度。
n<=10^4,m<=10^6
k个数中最大公约数：k个数中共有的因子最大的
于是可以将所有数的因子找出并记录个数
因为因子值越小,个数越多,满足单调性,记录最大值，不断缩小直到个数大于等于k
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二。组合数恒等式 ->杨辉三角
P2822[NOIP2016 提高组] 组合数问题
题意：给定n,m,k,对于所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少对C(j,i)%k==0
思路：
1.组合数公式 50分
2.组合恒等式 C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)->杨辉三角(n相当于行，m相当于列，每个数等于上方两数之和)
杨辉三角的第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
预处理出杨辉三角，然后对每个数%k,二维前缀和，特殊的对于每行比上一行多出的进行处理
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