张量学习（4）：Kronecker delta(换标符号) and Eddington（排列符号）

1)${\delta }_{ij}$符号（Kronecker delta）

1.定义（笛卡尔坐标系）

2.特性

1>对称性

由定义可知指标$i$和$j$是对称的，即：

2>${\delta }_{ij}$的分量集合对应于单位矩阵。

例如在三维空间中：

3>${\delta }_{ij}$换标符号，${\delta }_{ij}$具有换标作用

例如：

即：如果符号$\delta$的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成$\delta$ 的另一个指标，而$\delta$自动消失。
类似的有：

2)$e_{rst}$符号（排列符号或置换符号 Eddington）

1.定义（笛卡尔坐标系）

或者

$(1,2,3)$及其轮流换位得到的$(2,3,1)$ 和$(3,1,2)$称为正序排列
$(3,2,1)$及其轮流换位得到的$(2,1,3)$ 和$(1,3,2)$称为逆序排列

2.特性

1>共有27个元素。其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0

2>对其任何两个指标都是反对称的

即：

3>当三个指标轮流换位时（相当于指标连续对换两次），$e_{rst}$的值不变

3.常用实例

1>三个互相正交的单位基矢量构成正交标准化基

它具有如下重要性质：
每个基矢量的模为1，即：$e_i.e_j=1(当i=j时)$
不同基矢量互相正交，即：$e_i.e_j=0(当i\ne j时)$
上述两个性质可以用${\delta }_{ij}$表示统一形式：$e_i.e_j={\delta }_{ij}$

2>矢量的点积

个人思考：

1.什么是正序排列和逆序排列？

正序就是$(1,2,3)$从左向右够成一个环，找到最小值，以最小值为起点，从左向右看是否从小到大排列。逆序也同理可推。

2 .${\delta }_{ij}$和$e_{rst}$的作用是什么？

个人认为${\delta }_{ij}$和$e_{rst}$在指标符号的基础上建立的，依然整洁了我们的计算过程。