MIT-18.06-线性代数（第九讲）

第九讲 —— 线性相关性，基，维数

本讲将学习线性无关（linear independence），对于向量组，何谓“线性无关”，或者与之相反的情况，线性相关。什么是由向量组生成的空间。什么是向量空间的“基”，什么是子空间的“维数”。我们会说向量组是线性无关的，但不会说一个矩阵是线性无关的。

1. 线性无关

有向量组，什么条件下它们是线性无关的？对它们进行线性组合，是否存在结果为零的组合？除系数全为零，如果存在一种组合，使得结果为零向量，那么它们是线性相关的。如果不存在结果为零向量的组合，则向量组线性无关。这表示，任何的结果都不为零，除非所有系数都为零。如果向量组里包含了一个零向量，那么向量组不可能线性无关。

若都是矩阵的列，换言之，假设在一个维空间里，可以通过将它们放在一个矩阵中，直接判断向量组的线性相关性。如果向量组线性无关，那么矩阵的零空间中只有零向量。如果向量组线性相关，则表示零空间中存在其它一些向量，即有乘上非零向量得零向量，也就是存在向量组的线性组合结果为零向量。换一个角度，可以通过秩考虑，如果矩阵的列线性无关，则矩阵的秩是多少？则前者有，，没有自由变量，后者有，有自由变量。

2. 生成空间

设向量组生成一个向量空间，意味着这个空间包含这些向量的所有线性组合。如果给出一个向量组，然后令为它们的生成空间，这表示包含向量组的所有线性组合。是包含这些向量的空间中最小的一个，因为任何包含这些向量的空间，必须包含向量组的所有线性组合，如果仅仅包含这些组合，就得到最小的一个空间。这个空间就是向量组的生成空间。把向量组的所有线性组合的结果放到一个空间里，简称为生成（span）。

3. 基

向量空间的一组基（basis）是指一系列的向量，，这些向量具有两个特性，线性无关和生成空间。

举例，有一个空间，求空间的一组基。如。当空间是时，有3个向量，矩阵为方阵，它需要满足什么条件，其列才能组成基？有中个向量要构成基，以这个向量为列的矩阵是什么？矩阵必须是可逆的，只有此时，空间才是空间。任取某可逆矩阵，其列都是的基。矩阵可逆，其列空间就是，而各列线性无关。

4. 维数

对于给定空间，空间中任意基都满足此性质，即基向量的个数相等，如果一组基有个向量，那么所有基都是个向量，数字表示此空间的大小，也就是生成此空间需要的基向量个数。其中的，称为空间的维数（dimension）。

举例有空间，，找出列空间的一组基，如。矩阵的秩为2，即=主列的数目=列空间的维数。找出零空间的一组基，如。零空间的维数=自由变量的数目=。