一道竞赛难度的经典极限母题

        今天和大家分享一道竞赛经典母题，掌握了这道题目，就可以出无数道同一种思路，思考方式的题目，因为这是母题，出题老头就是根据母题然后经过一系列等价改变来诱惑我们，废话不多说，我们直接看题目。

 说一下我看到这道题目的大概思路，在左边等式，积分与求和并存，但是却不统一，于是我的第一想法就是“等价划归，统一形式”，然后接下来就是一系列的变形，这里会用到推广的第一积分中值定理，拉格朗日中值定理，黎曼函数的定积分定义，定积分定义，我先给出这些定理的证明。再来做这一道竞赛题目。

推广的第一积分中值定理的证明：

 拉格朗日中值定理的证明：

下面给出我做这道题目的心路历程，中间思考了很多，做了很多次尝试。

下面给出一道例题：

下面给出一道题目大家自己试一下，这一类题目“统一”的思想非常重要。

例题2（16年初赛题）：