普利姆算法（prim）求最小生成树（MST)过程详解

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   生活中最小生成树的应用十分广泛，比如：要连通n个城市需要n－1条边线路，那么怎么样建设才能使工程造价最小呢？可以把线路的造价看成权值求这几个城市的连通图的最小生成树。求最小造价的过程也就转化成求最小生成树的过程，则最小生成树表示使其造价最小的生成树。

       那么怎么样用普利姆算法(prim算法)求最小生成树（MST）？

       此以图例方式详述prim算法求最小生成树过程，希望对大家有帮助！

一、最小生成树相关基础知识

1. 最小生成树相关概念：

          带权图：边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。

          最小生成树（MST）：权值最小的生成树。

          生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。

   

2. 最小生成树的性质：

          MST性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。

          

   构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：

         （1）尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；

         （2）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；

   

二、普利姆算法(prim算法)基本思想

1. prim算法基本思想：

          假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：

          在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。

          此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

          Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。

    

          看了上面一大段文字是否感觉有点晕？为了便于大家更好的理解，接下来进行算法过程的分步图解！

   

三、普利姆求最小生成树算法过程图解

1. 第一步：随意选取起点

          图中有9个顶点v1-v9，集合表示为：V={v1，....，V9}，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我们先随意选择一个顶点作为起始点（起始点的选取不会影响最小生成树结果），在此我们一般选择v1作为起始点，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边。

          状态如下：U={v1}； TE={}；

   

2. 第二步：在前一步的基础上寻找最小权值

          查找一个顶点在U={v1}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

    

          通过图中我们可以看到边v1-v8的权值最小为2，那么将v8加入到U集合，（v1，v8）加入到TE。

          状态如下：U={v1，v8}； TE={（v1，v8）}；

   

3. 第三步：继续寻找最小权值

          查找一个顶点在U={v1，v8}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

    

          通过图中我们可以看到边v8-v9的权值最小为4，那么将v9加入到U集合，（v8，v9）加入到TE。

          状态如下：U={v1，v8，v9}； TE={（v1，v8），（v8，v9）}；

   

4. 第四步：在前一步的基础上，继续寻找最小权值

          查找一个顶点在U={v1，v8，v9}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

    

          通过图中我们可以看到边v9-v2的权值最小为1，那么将v2加入到U集合，（v9，v2）加入到TE。

          状态如下：U={v1，v8，v9，v2}；

                           TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2）}；

   

5. 第五步：继续在前一步的基础上，寻找最小权值

          查找一个顶点在U={v1，v8，v9，v2}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

    

          通过图中我们可以看到边v2-v3的权值最小为3，那么将v3加入到U集合，（v2，v3）加入到TE。

          状态如下：U={v1，v8，v9，v2，v3}；

                           TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2），（v2，v3）}；

   

6. 第五~九步：继续在前一步的基础上，寻找最小权值

          如此循环一下直到找到所有顶点为止。到这大家应该对普利姆算法求解最小生成树的过程有所知晓，但需注意以下三点：

   （1）每次都选取权值最小的边，但不能构成回路，构成环路的边则舍弃。如图中的（v1，v9），（v1，v2）等构成回路舍弃

   （2）遇到权值相等，又均不构成回路的边，随意选择哪一条，均不影响生成树结果。如图中的（v3，v4），（v6，v5）权值均为9，选择哪一条在先均不影响最小生成树的生成结果。

   （3）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点。

    

   完整的算法步骤如图所示：

   

四、小结

• （1）每次都选取权值最小的边，但不能构成回路，构成环路的边则舍弃。

• （2）遇到权值相等，又均不构成回路的边，随意选择哪一条，均不影响生成树结果

• （3）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点