高级算法日记5:二叉树

作者：孙相国

邮箱：[email protected]

目录

0. 二叉树很重要

上两次次课复习

dfs，bfs：随机游走方法

0.1 考纲分析

【考查目标】

1. 理解数据结构的基本概念；掌握数据的逻辑结构、存储结构及其差异以及各种基本操作的实现。
2. 掌握基本的数据处理原理和方法的基础上，能够对算法进行设计与分析。
3. 能够选择合适的数据结构和方法进行问题求解；具备采用c或c++语言设计与实现算法的能力。

三、树与二叉树

　　(一) 树的基本概念

　　(二) 二叉树

  　　1. 二叉树的定义及其主要特征

  　　2. 二叉树的顺序存储结构和链式存储结构

  　　3. 二叉树的遍历

  　　4. 线索二叉树的基本概念和构造

　　(三) 树、森林

1. 树的存储结构

2. 森林与二叉树的转换

3. 树和森林的遍历

​(四) 树和二叉树的应用

​1. 二叉排序树

  4. 平衡二叉树

  5. 哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码

0.2 知识地位

0.3 实际应用

机器学习算法中的应用：

1，层次聚类（周志华214）

2，决策树（周志华73）

3，knn与kd树

网络生成模型中的应用:《复杂网络理论与应用》175页

1. 树的基本概念与性质

1.1 树的定义

树是由 n (n⩾0)个节点组成的有限集合(记为 T )。其中，如果n=0，它是一棵空树；如果 n>0 ，这 n 个节点中有且仅有一个节点作为树的根节点，其余节点可以分为m(m⩾0)个互不相交的有限集合 T1,T2,⋯,Tm ，其中每一个子集合本身又是一棵符合本定义的树，成为根节点的子树。

这是王道和一般的辅导书的定义。其实这种定义，并没什么卵用。:smile:

下面是相国大人为你总结的树的“定义”：

自由树（即树），是一个连通的，无环的无向图.

done，是不是和优雅？

其中：

树中的任何两个顶点由唯一的简单路径相连.

树是连通的，但是从图中移除任意一条边得到的图均不连通，如果添加任何一条边，均会形成环，边的个数为 |V|−1 .

树的终极定义

如果一个无向简单图G满足以下相互等价的条件之一，那么G是一棵树：
G是没有回路的连通图。
G没有回路，但是在G内添加任意一条边，就会形成一个回路。
G是连通的，但是如果去掉任意一条边，就不再连通。
G是连通的，并且3顶点 K3 的完全图不是G的子图。
G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。
如果无向简单图G有有限个顶点（设为n个顶点），那么G是一棵树还等价于：
G是连通的，有n − 1条边，并且G没有简单回路。
如果一个无向简单图G中没有简单回路，那么G是森林

一棵树中每两个点之间都有且只有一条路径（指没有重复边的路径）。一颗有N个点的树有N-1条边，也就是连接N个点所需要的最少边数。所以如果去掉树中的一条边，树就会不连通。
如果在一棵树中加入任意的一条边，就会得到有且只有一个环的图。这是因为这条边连接的两个点（或是一个点）中有且只有一条路径，这条路径和新加的边连在一起就是一个环。如果把一个连通图中的多余边全部删除，所构成的树叫做这个图的生成树。
如果要在树中加入一个点，就要加入一条这个点和原有的点相连的边。这条边不会给这棵树增加一个环或者多余的路径。所以每次这样加入一个点，就可以构成一棵树。
一棵树既可以是有向的也可以是无向的。显然，树是连通图，但不会是双连通图（对于无向图）或者强连通图（对于有向图）。树可以算是稀疏图。
显然树中也没有自环和重复边。

既然开篇的递归式定义没什么卵用，为什么大多数教材都采用了这种定义呢？

别急，后面告诉你答案。

1.2 树的逻辑表示方法

树形表示法

凹入表示法

广义表表示法

又叫做括号表示法

(A(B(E,F,G),C(H),D(I,J)))

嵌套表示法

又叫做文氏图表示法

2. 二叉树的概念与性质

1.3 树的基本术语

节点的度与树的度

树中某个节点的子树的个数叫做这个节点的度。树中各个节点的度数最大值叫做树的度，通常讲度数为 m 的树称为m次树。

请注意！图当中顶点的度数

习惯上，我们喜欢把有根树这个范畴下的点叫做节点，把图这个范畴下的点叫做顶点。

分支节点，叶子节点，孩子节点，双亲节点，兄弟节点

略

有序树和无序树

若树中各节点的子树是按照一定的次序从左向右安排的，且相对次序是不能随意变换的，则称为有序树（有的人也叫做有向树），否则称为无序树（有的人也叫做无向树）。通常意义上的树都指的是无序树。

有根树和无根树

指定一个节点作为根，叫做有根树。

没有指定根节点的树，叫做无根树。由于无根树没有根节点，因此也没有办法计算树的层次和高度。通常意义上的树都指的是有根树。

满m次树

如果除根节点和叶子节点外，其他节点的度均为m，且所有叶子节点均在同一层，这样的树称为满m次树。对于高度为h的满m次树，节点编号范围为 1:mh−1m−1

完全m次树

对于高度为h的满m次树，按照满m次树的层序编号后，最高层连续缺少编号最大的若干个节点，但最高层中至少有一个节点，这样的树称为高度为h的完全m次树。

路径与路径长度：

对于任意两个节点 ki,kj ，若树中存在一个节点序列 ki,ki1,ki2,⋯,kin,kj ，使得序列中除 ki 之外任意一个节点都是其在序列中的前一个节点的后继，则称该节点序列为由 ki 到 kj 的一条路径，用路径所通过的节点序列 ki,ki1,ki2,⋯,kin,kj 表示这条路径。路径的长度等于路径所通过的边的数目。

思考题：树究竟是不是无向的？

举例子：

DFS-Tree中，尽管对于有向图，我们的边是有向边，但是得到的DFS-Tree并没有画箭头，因为这里面的方向只能是单向。如果是无向图，那么方向无所谓，得到的DFS-Tree也不需要画箭头。因此树这个图，边是没有箭头的（如果你遇见了待箭头的画法，那是不规范的），因此树是无向图。

我们之所以会听到树”有向“之类的话，是因为树可以表达有向的概念：

首先，树有自由树和有序树（也有人称之为无向树和有向树）的区分。自由树指的是任意节点的孩子之间没有顺序，有序树指的是任意节点的孩子之间有顺序。例如二叉树(A(B,C))与(A(C,B))是两个树。

其次，在有根树中，所有的边是有方向的（尽管没有画箭头），如果 <a,b> 是树中的一条边，则a是b的双亲节点，b是a的孩子节点。两个兄弟节点之间不存在路径，从根节点到树中其他任何节点都存在路径。

事实上，正是由于树这种有向和无向概念上的“操蛋”，因 此大多数教材中，对树的定义都采用开篇介绍的递归式定义。

1.4 树的性质

n=n0+n1+⋯+nm(1.4.1)

∑Degree=n−1=n1+2n2+⋯+mnm(1.4.2)

由上面两个式子得到：

n=n1+2n2+⋯+mnm+1=n0+n1+⋯+nm(1.4.3)

即，树中节点数等于所有节点的度数加1

n0=n2+⋯+(m−1)nm+1(1.4.4)

除此之外，还有如下的性质：

• m次树第i层上最多有 mi−1 个节点
• 高度为h的m次树最多有 mh−1m−1
• 具有n个节点的m次树最小高度是 ⌈logm(n(m−1)+1)⌉

Why?Because:

n⩽mh−1m−1 ,从而 mh⩾n(m−1)+1 ,从而 h⩾logm(n(m−1)+1) 从而 h⩾⌈logm(n(m−1)+1)⌉

下面我们来复习一下在图的背景中，相关概念的计算：

1.5 树的遍历，存储

这部分的内容树并不重要，重点考察的是图和二叉树。因此这里了解即可。

树的便利：先根遍历，后根遍历，层次遍历

树的存储：双亲存储，孩子链存储，具体见windows lenovo idear pad上的ppt课件

空间利用率是多少？

1.6 练习题

一共15道题，

一次性让他全部做完，然后再带着他一道题一道题过一遍

7-1-5 一棵高度为h的满m次树中，节点总数为_ _ _ _ _ _

7-1-6 假定一棵度为3的树中节点总数为50，则其最小高度为：

7-1-7 若一棵3次树中有2个度为3的节点，1个度为2的节点，2个度为1的节点，该树一共有（ ）个节点

7-1-9 若一棵度为7的树有7个度为2的节点，6个度为3的节点，5个度为4的节点，4个度为5的节点，3个度为6的节点，2个度为7度节点，该树一共有（ ）个叶子节点。

7-1-10 若一棵有n个节点的二叉树，其中分支节点度均为k，则该树中的叶子节点个数是（ ）

7-1-11 树中任意节点可以有（ ）个孩子节点，除根节点外，其余节点可以有（ ）个双亲节点

7-1-13 若一棵树的括号表达式为 A(B(E,F),C(G(H,I,J,K),L),D(M(N))) 则该树的度为（ ），树的深度为（ ），树中叶子结点个数为（ ）

注意：括号表达式中，括号的个数=分支节点的个数

7-1-14 在有n（n>1）个节点的各棵树其中，高度最小的是（ ），共有（ ）个叶子节点，（ ）其中高度最大的是（ ），共有（ ）个叶子节点。

7-1-15 判断对错

• 树中元素之间是多对多点关系
• 树适合表示层次关系
• 树和二叉树是两种不同的树形结构
• 一棵n节点的树中，分支数为n
• 对一棵树进行先根遍历和后根遍历时，其中叶子节点出现的相对次序是相同的

FTTFT

7-1-16 一棵树的括号表达式为 A(B,C(E,F(G)),D) 则：

1. 这棵树的根节点是
2. 这棵树的叶子节点是
3. C的度是
4. 这棵树的深度是
5. 节点C的孩子节点是
6. 节点C的双亲节点是
7. 顶点F的度是

注意第7个问，问的是顶点，不是节点！

7-1-17 若一棵度为4度树中度为1，2，3，4的节点个数分别是4，3，2，2，则该树叶子节点的个数是多少？总结点个数？

7-1-18 一棵度为m的树中有 n1 个度为1的节点， n2 个度为2的节点， ⋯ , nm 个度为m的节点，问叶子节点个数？

7-1-19 一棵树度为4，度为i的节点个数为i个（i>0），则该树中有多少个叶子节点？

7-1-20 对于具有n个节点的m次树：

• 若采用孩子链存储结构，共有多少个空指针域？
• 若采用孩子兄弟链存储结构，共有多少个空指针域？

7-1-21 有n个叶子节点的3次树的最小高度是多少？

7-1-23 一棵高度为h的完全k次树，如果按层次自顶向下，同一层自左向右，顺序从1开始对全部节点进行编号，则：

1. 最多有多少个节点，最少多少个节点？
2. 编号为q的节点的第i个孩子节点如果存在，编号是？
3. 编号为q的节点的双亲节点编号是？

2. 二叉树的基本概念与性质

基本概念：略

2.1 性质

非空二叉树

“三兄弟”

• n0=n2+1
• n=n0+n1+n2
• ∑Degree=n−1=n1+2n2

“俩大头”

• 第 i 层上最多有2i−1个节点
• 高度为 h 的二叉树最多有2h−1个节点

由 n 个节点构成的二叉树共有Cn2nn+1

完全二叉树

对于编号为 i 的节点

• 若i⩽⌊n/2⌋，即 2i⩽n ，则节点 i 为分支节点，否则为叶子节点
• 若n为奇数，则每个分支节点既有左孩子，又有右孩子。反之，则编号最大的分支节点( n/2 )只有左孩子，没有右孩子，其余分支节点都有左右孩子。
  • 完全二叉树中度为1的节点只有0个或1个。

  • 如何找到核心记忆法？

    大家好，我是小 i ，我爸，我妈都叫⌊i/2⌋,我的孩子是 2i,2i+1

    在完全二叉树中，一旦 n 确定了，树的形状也就确定了。其中n1=0,or,1,想一想，什么时候取0，什么时候取1？

    另外， h=⌊log2n⌋ 或 h=⌈log2(n+1)⌉ .想一想，这是怎么来的？

    满二叉树

    满二叉树是特殊的完全二叉树
    

    hn0n1n2n=log2(n+1)=2h−1=0=2h−1−1=2h−1

    2.2 存储

    略，书231，232

    2.3 二叉树·树·森林转换

    直接上习题230

    森林2二叉树：断父子，连兄弟

    • 当一棵树转换成二叉树后，左分支仍表示原来的父子关系，而右分支表示原来的兄弟关系。
    • 树中有n个分支节点，则二叉树中有n+1个无右节点。

    二叉树2森林：断右边，连boss

    • 当一棵二叉树还原为森林时，二叉树中根节点有k个右下节点，则森林中有k+1棵树，

    2.4 练习题

    27道题

    PART ONE 20

    7-2-1 以下说法正确的是：

    A, 二叉树中每个节点度均为2

    B,二叉树中至少有一个节点的度为2

    C,二叉树中每个节点的度可以小于2

    D,二叉树中至少有一个节点

    7-2-2 按照二叉树的定义，具有3个节点的二叉树有（ ）中

    7-2-4 具有10个叶子节点的二叉树中有（ ）个度为2的节点

    7-2-6 一棵二叉树有35个节点，其中所有节点的度之和（ ）

    7-2-7 深度为5的二叉树最多有（ ）个节点

    7-2-10 一个具有1025个节点的二叉树高（ ）

    7-2-12，13 设高度为h的二叉树只有度为0和2的节点，则此类二叉树中所包含的节点数至少是（ ），最多是（ ）

    注意：这个二叉树已定是满二叉树吗？一定是完全二叉树吗？

    7-2-14 一棵完全二叉树中有1001个节点，其中叶子节点个数是（ ）

    7-2-15，16 一棵完全二叉树中有501个叶子节点，则至少有（ ）个节点。最多（ ）个节点。

    7-2-17 一棵高度为h的完全二叉树至少有（ ）个节点

    7-2-20 一棵满二叉树有m个叶子节点和n个节点，其深度为h，则有（ ）

    A n=h+m

    B h+m=2n

    C m=h−1

    D n=2h−1

    答题技巧

    在完全二叉树中，一旦 n 确定了，树的形状也就确定了，因此直接排出A,B，又因为C是线性关系，一定错误，所以选D

    7-2-21 一棵满二叉树中有127个节点，其中叶子节点个数是（ ）

    7-2-25 二叉树A(B(C(,D)),E(F(,G),H(I,J)))，是由森林转换的来的，那么森林有（ ）个叶子节点

    7-2-26 设森林中有3棵树，第1，2，3棵树的节点个数分别是9，8，7，则森林对应的二叉树根节点的右子树上的节点个数是（ ）

    7-2-27 设森林对应的二叉树有m个节点，其根节点的右子树节点个数为n，则森林中第一棵树的节点个数是（ ）

    7-2-28 设森林中有n个非终端节点，则转换的二叉树中无右孩子节点个数为（ ）

    7-2-30 在一棵完全二叉树中，编号i和编号j的两个节点处于同一层的条件是（ ）

    7-2-31 在一棵总结点数为偶数的完全二叉树中，叶子节点个数为k，最后一层节点数大于2，则该二叉树的高度为（ ）

    7-2-33 高度为h的完全二叉树至少有（ ）个节点，最多有（ ）个节点，第h层中编号最小的叶子节点的编号（ ）

    7-2-35 在具有n个节点的二叉树中如果有m个叶子节点，则一定有（ ）度为1的节点，（ ）度为2的节点

    PART TWO 7

    7-2-38，39判断正误

    • n（n>2）个节点的二叉树中至少有一个度为2的节点
    • 不存在这样的二叉树：n个度为0的节点，n-1个度为1的节点，n-2个度为2的节点。
    • 在任何一棵完全二叉树中，叶子节点或者和分支节点一样多，或者只比分支节点多一个
    • 完全二叉树中的每个节点或者没有孩子或者有两个孩子
    • 二叉树就是度为2的树
    • 将一棵含有两个以上节点的树转换成二叉树后，该二叉树的根节点没有左子树。
    • 一棵满二叉树中每棵子树也是满二叉树
    • 一棵满二叉树中每棵子树也是完全二叉树
    • 二叉树是一种特殊的树
    • 完全二叉树最适合顺序存储结构

    FTTFFF TTFT

    7-2-45 一棵完全二叉树的第6层有8个节点，则该完全二叉树的节点个数最多有（ ）个，最少有（ ）个。

    7-2-46 判断对错：一棵完全二叉树，知道叶子节点个数，就可以确定其形状

    F

    7-2-46 一棵完全二叉树有50个叶子节点，则该二叉树的总节点数至少有多少个？

    7-2-47 已知一棵完全二叉树有892个节点，试求：

    • 树的高度
    • 单支节点个数
    • 叶子节点个数
    • 最小的叶子节点编号

    7-2-48 高度为8的完全二叉树第8层有8个节点，则其叶子节点个数

    7-2-51 一棵满二叉树节点个数为20-40之间的素数，次二叉树的叶子节点有多少个？

    3. 二叉树的基本算法

    3.1 二叉树的遍历

    先序遍历

    pre_order(root):
        if root == None:
            return
        else:
            visit(root)
            pre_order(root.left_child)
            pre_order(root.right_child)

    def pre_order(root):
      stack.push(root)
      while not stack.empty():
        u=stack.pop()
        visit(u)
        if u.right_child != None:
          stack.push(u.right_child)
        if u.left_child != None:
          stack.push(u.right_child)

    中序遍历

    mid_order(root):
      if root != None:
        mid_order(root.left_child)
        visit(root)
        mid_order(root.right_child)

    扫描root左孩子节点，进栈
    弹出栈顶元素，访问
    扫描刚才弹出的元素的右孩子节点，进栈，
    扫描这个节点的左孩子节点

    mid_order_stack(root):
    
      current=root
    
      while not stack.empty():
        stack.push(current)
    
        while(current.left_child!=None):
          stack.push(current.left_child)
          current=current.left_child
    
        current=stack.pop()
        visit(current)
        current=current.right_child
    

    后序遍历

    post_order(root):
      if root!=None:
        post_order(root.left_child)
        post_order(root.right_child)
        visit(root)

    家庭作业：自己回去，完成后序遍历的栈的实现

    提示：后续遍历中，右孩子节点，一定刚好在father之前访问，后序遍历中最后一个节点一定是根节点

    层次遍历

    level_order(root):
        current=root
        queue.push(current)
        while not queue.empty():
          current=queue.front
          visit(current)
          queue.pop()
          if current.left_child:
              queue.push(current.left_child)
          if current.right_child:
              queue.push(current.right_child)

    3.2 创建·查找·求高度

    略

    3.3 二叉树构造定理

    书249-252

    3.4 练习题

    20道题

    7-3-1 如果二叉树是由一棵树转换而来的，那么这棵树的先根序列对应二叉树的（ ）序列

    7-3-2 如果二叉树是由一棵树转换而来的，那么这棵树的后根序列对应二叉树的（ ）序列

    7-3-3 某二叉树的先序遍历序列和后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定

    A 空或只有一个节点

    B 完全二叉树

    C 二叉排序树

    D 高度等于其节点数

    7-3-4 在一棵非空二叉树的中序遍历序列中，根节点的右边

    A 只有右子树的所有节点

    B 只有右子树上的部分节点

    C 只有左子树上的部分节点

    D 只有左子树上的所有节点

    7-3-5 任何一棵二叉树的叶子节点在先序，中序，和后序序列中的相对次序

    A 不发生改变

    B 发生改变

    C 不能确定

    7-3-6 设n，m为一棵二叉树上的两个节点，在中序序列中，n在m之前的条件是

    A n在m右边

    B n是m祖先

    C n在m左边

    D n是m子孙

    7-3-7 设n，m为一棵二叉树上的两个节点，在先序序列中n在m之前，在后序序列中n在m之后，则n和m的关系是

    A n是m的左兄弟

    B n是m的右兄弟

    C n是m的祖先

    D n是m的子孙

    7-3-8 设n，m为一棵二叉树上的两个节点，应该选择（ ）两个序列来判断n是否是m的祖先

    A 先序和后序

    B 先序和中序

    C 中序和后序

    D 以上均可以

    7-3-9 对二叉树的节点从1开始编号，要求每个节点的编号大于其左孩子，小于其右孩子，则可以采用（）遍历实现二叉树的节点编号

    7-3-10 若二叉树采用二叉链存储结构，要交换其所有分支节点的左，右子树中节点的位置，利用（）遍历方法最合适

    7-3-11 一棵二叉树的先序遍历为ABCDEFG，中序遍历可能是

    A： CABDEFG

    B： ABCDEFG

    C：DACEFBG

    D：ADCFEG

    7-3-12 一棵二叉树的先序遍历为ABCDEF，中序遍历为DEBAC，则先序遍历序列为

    7-3-13 一棵二叉树的后序遍历为DABEC，中序遍历为DEBAC，则先序遍历为

    7-3-14 一棵二叉树先序遍历EFHIGJK，中序遍历为HFIEJKG，则该二叉树根节点的右孩子为

    7-3-16 二叉树先序序列和中序序列相同的条件为

    7-3-17 二叉树后序序列和中序序列相同的条件为

    7-3-18 若一棵二叉树叶子节点是某子树中序序列中的最后一个节点，则它必是该子树（）序列中的最后一个节点。

    7-3-20 判断正误

    • 由二叉树某种遍历方式产生的结果是一个线性序列
    • 给定二叉树的某种遍历结果，对应的二叉树不是唯一的
    • 二叉树的先序遍历病不能为一确定这棵树，但是如果还知道该树的根节点，则可以确定这棵树
    • 用二叉树的先序序列和中序序列可以推导出树的后序序列

    TTFT

    7-3-24 如果在二叉树节点的先序序列，中序序列和后序序列中，节点a，b的位置是a在前，b在后，则ab可能是兄弟吗？a可能是b的双亲吗？a可能是b的孩子吗？

    7-3-25 若已知一棵完全二叉树的某种遍历序列，能够为一确定这棵二叉树吗？

    7-3-26 一棵二叉树的先序，中序，后序分别如下，请将空格处的地方补充完整

    先序序列：_ B _ F _ ICEH _ G

    中序序列：D _ KFIA _ EJC _

    后序序列：_ K _ FBHJ _ G _ A

    4. 线索二叉树

    7-4-1 引入线索二叉树的目的是

    A 加快查找节点的前驱或后继

    B 为了能在二叉树中方便插入和删除

    C 为了能够方便找到双亲

    D 是二叉树的遍历结果唯一

    7-4-2 线索二叉树是一种（）结构

    A 逻辑

    B 逻辑和存储

    C 物理

    D 线性

    7-4-4 n个节点的线索二叉树上含有的线索数为

    7-4-5 一棵线索二叉树中含有的线索数比分支数多（）个

    7-4-6 二叉树在线索化后，仍然不能有效求解的问题是

    A 先序线索二叉树中求先序后继

    B 中序线索二叉树中求中序后继

    C 中序线索二叉树中求先序前驱

    D 后序线索二叉树中求后序后继

    先不能先，后不能后

    5. 哈夫曼树

    5.1 哈夫曼树的构造

    5.2 性质

    一棵哈夫曼树是一棵二叉树，没有度为1的节点

    对于具有n0个叶子节点的哈夫曼树，共有 2n0−1 个节点

    在同一组哈夫曼编码中，一个字符不可能是其他任何字符的前缀

    5.3 习题

    7-5-2 根据使用频率为5个字符设计的哈夫曼编码不可能是

    A 111，110，10，01，00

    B 000，001，010，011，1

    C 100，11，10，1，0

    D 001，000，01，11，10

    7-5-5 有13个值，用它们组成一棵哈夫曼树，则该哈夫曼树共有（）个节点

    7-5-7 若以{4,5,6,7,8}作为叶子节点的权值构造一棵哈夫曼树，则其带权路径长度为（）各个节点的哈夫曼编码为（）

    7-5-8 判断正误

    • 哈夫曼树中不存在度为1的节点
    • 权值相同的叶子节点都在同一层上
    • 权值较大的叶子节点一般距离根节点较远
    • 哈夫曼树是带权路径长度最小的树，路径上权值较大的节点距离根节点较近

    TFFT

    7-5-10 设哈夫曼编码长度不超过4，若已经对两个字符编码为1，01，则最多还可以对多少个字符进行编码