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数据结构学习笔记（5.树与二叉树 6.图）

文章目录

  • 第五章 树与二叉树
    • 树
    • 树的常考性质
    • 二叉树--定义、基本术语
    • 二叉树--常考性质
    • 二叉树--存储结构
    • 二叉树--先序、中序、后序遍历
    • 二叉树--层序遍历
    • 由遍历序列构造二叉树
    • 线索二叉树--概念
    • 二叉树的线索化--代码实现
    • 线索二叉树--如何找前驱、后继
    • 树--存储结构（普通的树）
    • 树、森林的遍历
    • 哈夫曼树
    • 并查集--2022新增考点
    • 并查集终极优化
  • 第六章 图
    • 图的基本概念
    • 图的存储--邻接矩阵法
    • 图的存储--邻接表法
    • 图的存储--十字链表、邻接多重表
    • 图的基本操作
    • 图的遍历--广度优先遍历（BFS）
    • 图的遍历--深度优先遍历（DFS）
    • 最小生成树
    • 最短路径--BFS算法
    • 最短路径---Dijkstra算法
    • 最短路径--Floyd算法
    • 有向无环图--描述表达式
    • 拓补排序
    • 关键路径

第五章 树与二叉树

树

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树的基本概念

  • 空树，非空树
  • 非空树特性

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树的基本概念

  • 数学描述
  • 子树，子树之间互不相交
  • 树是一种递归定义的结构，任何一个树都可以看做是由根节点和若干个不相交的子树所组成的

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树形逻辑结构的应用
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结点之间的关系描述

  • 祖先结点：从一个节点出发一直往上走，直到根节点，所遇到的所有节点都是祖先结点
  • 子孙结点：从一个节点出发，下面所有长出的节点都是他的子孙结点
  • 双亲结点：一个结点的直接前驱，就是双亲结点，也叫父结点
  • 孩子结点：一个结点的直接后继，叫孩子结点
  • 兄弟结点：几个结点来自同一个父结点，他们之间就是兄弟结点
  • 堂兄弟结点：几个结点父结点不同，但是爷爷结点相同，之间就是堂兄弟节点；堂兄弟结点都在同一层

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结点、树的属性描述

  • 我们默认结点的层次从1开始，也就是父结点为第一层
  • 有些地方叫法从0层开始，考试注意审题
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    有序树VS无序树
  • 取决于用树来做什么，是否需要结点的子树从左到右满足次序

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树vs森林

  • 树和森林的转换也是考点
  • 树可以是空树，森林也可以为空森林

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知识点小结
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树的常考性质

考点1：结点数=总度数+1
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考点2：度为m的树、m叉树的区别
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考点2：度为m的树第i层，至多有m的i-1次方个结点
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考点4：高度为h的m叉树，至多有几个结点，等比数列求和
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考点5：
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考点6：有n个结点的m叉树，最小高度为？让树尽可能的宽，参考前面的等比数列求和公式
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知识点小结
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二叉树–定义、基本术语

高频考点
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二叉树的基本概念
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二叉树的五种状态
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考点：几个特殊的二叉树–形态上

  • 满二叉树，完全二叉树；满二叉树相当于特殊的完全二叉树
  • 完全二叉树如果不满的话，缺少的一定是最后面的几个叶子节点，前面的一定是按顺序排下来的，不能有跳跃
  • 如果完全二叉树的某个结点只有一个孩子，那么一定是左孩子

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几个特殊的二叉树–功能上
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几个特殊的二叉树–平衡二叉树

  • 平衡二叉树能有更高的搜索效率
  • 因为平衡二叉树生长的时候尽可能长的宽，搜索的时候才能尽可能减少深度，减少对比的次数

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知识点小结
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二叉树–常考性质

常见考点1：

  • 叶子结点比度为2的结点数多一个

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常见考点2
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常见考点3

  • 前面证明过

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完全二叉树考点1

  • 要能自己推导，而不是死记硬背
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    完全二叉树考点2
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    知识点小结
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二叉树–存储结构

二叉树的顺序存储
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几个重要考点的基本操作

  • 结点编号的关系

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如果不是完全二叉树，原有的编号顺序无法反应结点的逻辑关系
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  • 可以仍然按照想象中的完全二叉树进行编号，不存在的结点去掉即可
  • 但是不能再通过结点总数来判断左右孩子是否存在，而是用isempty来判断
  • 显而易见，这样存储，会有大量的空间闲置浪费

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最坏情况

  • 因此二叉树的顺序存储结构只适合存储完全二叉树
  • 实际中很少这么用

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二叉树的链式存储–二叉链表

  • n个结点就会有2n个指针域
  • n个结点，每个结点的头上都有一个指针，除了根节点，因此共有n-1个指针有指向
  • 所以二叉树链表共有n+1个空链域

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二叉链表代码实现
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二叉链表存储

  • 找孩子非常容易，但是找父节点只能遍历寻找
  • 也可以个结点再添加一个指针，用来存放父节点，也成为三叉链表
  • 考试一般喜欢考二叉链表，然后遍历查找父节点

知识点小结

  • 顺序存储的情况，如果结点从0开始编号，如何调整
  • 链式存储的情况，需要注意空链域

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二叉树–先序、中序、后序遍历

什么是遍历
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二叉树的递归特性
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二叉树遍历练习

  • 给定二叉树，确定前序中序后序遍历顺序是常见考点

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先序遍历–代码实现
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中序遍历–代码实现
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后序遍历–代码实现
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空间复杂度
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  • 先脑补出空节点
  • 红色表示第一次访问该结点，绿色表示第二次经过该结点，紫色表示第三次经过该结点
  • 不难发现，每个节点都会被路过三次

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应用
求树的深度
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知识点小结
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二叉树–层序遍历

层序遍历算法思想

  • 初始化辅助队列
  • 根结点入队
  • 队列不空则循环
    • 队列头结点出队
    • 访问出队的节点
    • 出队的节点如果有左右孩子，则入队
    • 重新判断是否循环

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代码实现

  • 辅助队列使用链队列，因为不清楚需要使用多长的辅助队列
  • 辅助队列只需要保存结点的指针即可，无需保存结点数据，节省空间

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知识点小结
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由遍历序列构造二叉树

不同二叉树的遍历序列

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       今天看了篇文章，震动很大，说的是美国的福利。    美国医院的无偿入院真的是个好措施。小小的改善，对于社会是大大的信心。小孩，税费等，政府不收反补，真的体现了人文主义。    美国这么高的社会保障会不会使人变懒？答案是否定的。正因为政府解决了后顾之忧，人们才得以倾尽精力去做一些有创造力，更造福社会的事情，这竟成了美国社会思想、人
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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他