【算法优选】 二分查找专题——壹

前言

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

查找过程：

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

算法要求：

1.必须采用顺序存储结构。
2.必须按关键字大小有序排列。

比较次数：

计算公式：
当顺序表有n个关键字时：
查找失败时，至少比较a次关键字；
查找成功时，最多比较关键字次数是b。
注意：a,b,n均为正整数。

算法复杂度：

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果xa[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.
时间复杂度即是while循环的次数。
总共有n个元素，
渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,…n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数
由于你n/2^k取整后>=1
即令n/2^k=1
可得k=log2n,（是以2为底，n的对数）
所以时间复杂度可以表示O(h)=O(log2n)

二分查找

题目描述：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

• 示例 1:
  输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
  输出: 4
  解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

• 示例 2:
  输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
  输出: -1
  解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {

    }
}

算法流程：

1. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
2. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

• arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
• arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程；
• arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；

3. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

代码实现：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        // 初始化 left 与 right 指针
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        // 由于两个指针相交时，当前元素还未判断，因此需要取等号
        while (left <= right) {
            // 先找到区间的中间元素
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 分三种情况讨论
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        // 如果程序⾛到这⾥，说明没有找到⽬标值，返回 -1
        return -1;
    }
}

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

• 示例 1：
  输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
  输出：[3,4]

• 示例 2：
  输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
  输出：[-1,-1]

• 示例 3：
  输入：nums = [], target = 0
  输出：[-1,-1]

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {

    }
}

算法思路：

⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；

⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。

寻找左边界思路：

寻找左边界：

• 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；

右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

• 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid]

• 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；

注意：这⾥找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；

• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ，right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整

寻找右边界思路：

寻右左边界：

• ⽤ resRight 表⽰右边界；
• 我们注意到右边界的特点：
  ▪ 左边区间（包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
  ▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

• 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新left 到 mid 的位置；
• 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素
  是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

注意：这⾥找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。

• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整

代码实现

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int[] ret = new int[2];
        ret[0] = ret[1] = -1;
        // 处理边界情况
        if(nums.length == 0) {
            return ret;
        }
        // 1. ⼆分左端点
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        // 判断是否有结果
        if(nums[left] != target) {
            return ret;
        } else {
            ret[0] = right;
        }
        // 2. ⼆分右端点
        left = 0; 
        right = nums.length - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) {
                left = mid;
            }else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        ret[1] = left;
        return ret;
    }
}

搜索插入位置

题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

• 示例 1:
  输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
  输出: 2

• 示例 2:
  输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
  输出: 1

• 示例 3:
  输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
  输出: 4

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {

    }
}

算法思路：

1、分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：

设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：

• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；

• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。

2、设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信
息，分析下⼀轮查询的区间：

• 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
• 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。

3、 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是left == right 的时候， left 或者
right 所在的位置就是我们要找的结果

代码实现：

    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } 
            else {
                right = mid;
            }
        }
        // 特判⼀下第三种情况
        if (nums[right] < target) {
            return right + 1;
        }
        return right;
    }

x的平方根

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

• 示例 1：
  输入：x = 4
  输出：2
• 示例 2：
  输入：x = 8
  输出：2
  解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        
    }
}

算法思路：

设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：

分析 index 左右两次数据的特点：

• [0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；

• [index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。

因此可以使⽤⼆分查找算法。

代码实现：

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        long left = 1;
        long right = x;
        if(x < 1) {
            return 0;
        }
        while(left < right) {
            long mid = left + (right - left + 1)/2;
            if(mid*mid <= x) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return (int)left;
    }
}

⭕总结

关于《【算法优选】 二分查找专题——壹》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！