这是 LeetCode 上的 「310. 最小高度树」 ,难度为 「中等」。
Tag : 「树形 DP」、「DFS」、「动态规划」
树是一个无向图,其中任何两个顶点只通过一条路径连接。 换句话说,一个任何没有简单环路的连通图都是一棵树。
给你一棵包含 个节点的树,标记为 到 。给定数字 和一个有 条无向边的 edges
列表(每一个边都是一对标签),其中 表示树中节点 和 之间存在一条无向边。
可选择树中任何一个节点作为根。当选择节点 作为根节点时,设结果树的高度为 。在所有可能的树中,具有最小高度的树(即,min(h)
)被称为 最小高度树 。
请你找到所有的 最小高度树 并按 任意顺序 返回它们的根节点标签列表。
树的 高度 是指根节点和叶子节点之间最长向下路径上边的数量。
输入:n = 4, edges = [[1,0],[1,2],[1,3]]
输出:[1]
解释:如图所示,当根是标签为 1 的节点时,树的高度是 1 ,这是唯一的最小高度树。
输入:n = 6, edges = [[3,0],[3,1],[3,2],[3,4],[5,4]]
输出:[3,4]
提示:
这是一道树形 DP 模板题。
当确定以某个点为根节点时,整棵树的形态唯一固定,不妨以编号为 的节点作为根节点进行分析。
假设当前处理到的节点为 u
,其是从父节点 fa
遍历而来,且将要遍历的子节点为 j
。
即树的形态如图所示(一些可能有的出边用虚线表示):
树形 DP 问题通常将问题根据「方向」进行划分。
对于当前处理到的节点 u
而言,我们根据是否考虑「从 fa
到 u
的出边」将其分为「往上」和「往下」两个方向。
假设我们可以通过 DFS
预处理出 数组和 数组:
u
节点为子树根节点时,往下的最大高度 u
节点为子节点时,往上的最大高度 那么最终以 u
为根节点的最大高度为 。
只需要简单的 DFS
即可处理出来。对于 而言,其同样包含「往上」和「往下」两部分:
fa
后接着往上的部分有 fa
后转而往下的部分,我们需要考虑「 fa
节点往下的最大值 」是否由 u
节点参与而来进行分情况讨论:
u
参与,那么 应当是 fa
节点往下的最大值 而来( 代表加上 fa
到 u
的边) fa
往下的最大值由 u
节点参与,此时应当使用 fa
往下的次大值 来更新 因此我们需要对 数组进行拆分,拆分为记录「最大值的 数组」和记录「次大值的 数组(注意这里的次大值是非严格的次大值)」,同时使用 数组记录下取得 时 u
的子节点 j
为何值。
实现上,在处理「往上」方向的 DFS
时,为避免对 fa
节点为空的处理,我们可以将「用 fa
来更新 u
」调整为「用 u
来更新 j
」。
代码:
class Solution {
int N = 20010, M = N * 2, idx = 0;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
int[] f1 = new int[N], f2 = new int[N], g = new int[N], p = new int[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
public List findMinHeightTrees(int n, int[][] edges) {
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] e : edges) {
int a = e[0], b = e[1];
add(a, b); add(b, a);
}
dfs1(0, -1);
dfs2(0, -1);
List ans = new ArrayList<>();
int min = n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cur = Math.max(f1[i], g[i]);
if (cur < min) {
min = cur;
ans.clear();
ans.add(i);
} else if (cur == min) {
ans.add(i);
}
}
return ans;
}
int dfs1(int u, int fa) {
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
int sub = dfs1(j, u) + 1;
if (sub > f1[u]) {
f2[u] = f1[u];
f1[u] = sub;
p[u] = j;
} else if (sub > f2[u]) {
f2[u] = sub;
}
}
return f1[u];
}
void dfs2(int u, int fa) {
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
if (p[u] != j) g[j] = Math.max(g[j], f1[u] + 1);
else g[j] = Math.max(g[j], f2[u] + 1);
g[j] = Math.max(g[j], g[u] + 1);
dfs2(j, u);
}
}
}
可能会初次接触「树形 DP」的同学不太理解,这里再补充说明一下。
归根结底,以 u
为根节点的最大深度,必然是下面三种情况之一(往下、往上 和 往上再往下)。
其中对 数组的拆分(变为 和 )以及记录取得 对应的子节点 ,目的都是为了能够正确统计「往上再往下」的情况(统计该情况时,不能考虑从 fa
经过 u
的路径,因此需要记录一个非严格的次大值 )。
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.310
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
更多更全更热门的「笔试/面试」相关资料可访问排版精美的 合集新基地
本文由 mdnice 多平台发布