控制系统中对信号求导的注意事项

线性定常系统的重要特性引发的思考

女朋友在阅读胡寿松第六版《自动控制原理》时有一个困惑。为什么书中P71页表3-2中的阶跃信号1,求导之后消失了,而不是作为单位脉冲信号 δ ( t ) \delta(t) δ(t)处理。难道这里的1视为常数,这样就与零初始条件矛盾了。

书中的表3-2 一阶系统对典型输入信号的输出响应如下:

输入信号 输出响应
1 ( t ) 1(t) 1(t) 1 − e − t / T , t ≥ 0 1-e^{-t/T}, t \ge 0 1et/T,t0
δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 T e − t / T , t ≥ 0 \frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0 T1et/T,t0

书中由此得出线性定常系统的一个重要特性:系统对输入信号导数的响应,就等于系统对输入信号响应的导数。

也就是说第二行脉冲响应应该是第一行阶跃响应的导数,但是这里为什么1对应的导数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)没有了呢?

:因为后面的指数项 e − t / T , t ≥ 0 e^{-t/T},t \ge 0 et/T,t0,在零初始条件下还需要乘以一个 u ( t ) u(t) u(t),根据求导的乘法公式求导之后会出现一个 δ ( t ) \delta(t) δ(t),从而相互抵消。

将阶跃响应写成如下形式:

1 − e − t / T ( t ≥ 0 ) = 1 ( t ) − e − t / T × 1 ( t ) 1-e^{-t/T}(t \ge 0)=1(t)-e^{-t/T}\times 1(t) 1et/T(t0)=1(t)et/T×1(t)

对阶跃响应求导:

d d t [ 1 ( t ) − e − t / T × 1 ( t ) ] = δ ( t ) − d d t [ e − t / T 1 ( t ) ] = δ ( t ) − [ d d t e − t / T × 1 ( t ) + e − t / T × d d t 1 ( t ) ] = δ ( t ) − [ − 1 T e − t / T × 1 ( t ) + e − t / T × δ ( t ) ] = δ ( t ) − [ − 1 T e − t / T × 1 ( t ) + δ ( t ) ] = 1 T e − t / T × 1 ( t ) \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [&1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)] \\ =&\delta(t)- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{-t/T}1(t)] \\ =&\delta(t)- [\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-t/T}\times1(t)+e^{-t/T}\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 1(t)] \\ =&\delta(t) -[-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+e^{-t/T}\times \delta(t)]\\ =&\delta(t)- [-\frac{1}{T}e^{-t/T}\times 1(t)+\delta(t)] \\ =&\frac{1}{T}e^{-t/T}\times1(t) \end{aligned} dtd[=====1(t)et/T×1(t)]δ(t)dtd[et/T1(t)]δ(t)[dtdet/T×1(t)+et/T×dtd1(t)]δ(t)[T1et/T×1(t)+et/T×δ(t)]δ(t)[T1et/T×1(t)+δ(t)]T1et/T×1(t)

即为 1 T e − t / T , t ≥ 0 \frac{1}{T}e^{-t/T}, t\ge 0 T1et/T,t0

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