控制系统中对信号求导的注意事项

线性定常系统的重要特性引发的思考

女朋友在阅读胡寿松第六版《自动控制原理》时有一个困惑。为什么书中P71页表3-2中的阶跃信号1，求导之后消失了，而不是作为单位脉冲信号$\delta (t)$处理。难道这里的1视为常数，这样就与零初始条件矛盾了。

书中的表3-2 一阶系统对典型输入信号的输出响应如下：

输入信号	输出响应
$1(t)$	$1-e^{-t/T},t\ge 0$
$\delta (t)$	$\frac{1}{T}{e}^{-t/T},t\ge 0$

书中由此得出线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对输入信号响应的导数。

也就是说第二行脉冲响应应该是第一行阶跃响应的导数，但是这里为什么1对应的导数$\delta (t)$没有了呢？

答：因为后面的指数项$e^{-t/T},t\ge 0$，在零初始条件下还需要乘以一个$u(t)$，根据求导的乘法公式求导之后会出现一个$\delta (t)$，从而相互抵消。

将阶跃响应写成如下形式：

$$1-e^{-t/T}(t\ge 0)=1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)$$

对阶跃响应求导：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[& 1(t)-e^{-t/T}\times 1(t)]\\ =& \delta (t)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{-t/T}1(t)]\\ =& \delta (t)-[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{-t/T}\times 1(t)+e^{-t/T}\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}1(t)]\\ =& \delta (t)-[-\frac{1}{T}{e}^{-t/T}\times 1(t)+e^{-t/T}\times \delta (t)]\\ =& \delta (t)-[-\frac{1}{T}{e}^{-t/T}\times 1(t)+\delta (t)]\\ =& \frac{1}{T}{e}^{-t/T}\times 1(t)\end{array}$$

即为$\frac{1}{T}{e}^{-t/T},t\ge 0$。