矩阵病态问题

• 病态（ill-conditioned)矩阵
• 病态（ill-posed)方程

病态矩阵

• 矩阵的frobenius范数：
  • 对每一个元素平方，求和再开平方

• 矩阵的条件数：矩阵的frobenius范数与该矩阵的逆的frobenius范数的乘积

• 对于同阶矩阵，矩阵的条件数越大，他的病态程度越高 
  • 一般而言，条件数小于100，矩阵健康
  • 介于100-1000之间，有一定的病态趋势
  • 大于1000，病态

病态矩阵的实质

• 矩阵向量（行或列）之间存在共线性

举例

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3.00001, 6]])
b = np.array([6, 18])
def cond(A):
    a = np.sum(A**2)**0.5
    b = np.sum(np.linalg.inv(A)**2)**0.5
    return a*b


x = np.linalg.solve(A, b)
print(x, "  ", cond(A))

[0. 3.]    2500003.000017089

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import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 6]])
b = np.array([6, 18])
def cond(A):
    a = np.sum(A**2)**0.5
    b = np.sum(np.linalg.inv(A)**2)**0.5
    return a*b


x = np.linalg.solve(A, b)
print(x, "  ", cond(A))

[0. 3.]    22.500000000000004

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