高中奥数 2021-06-03

2021-06-03-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题13）

已知集合.求.

解

因为是各位数字互不相同的十位正整数,,且,所以,即.

是各位数字互不相同的十位正整数,,设,所以.

,.所以.

当或时,显然不成立.所以,是一个五位数.

设,则,记.

若,.

若,则,.

由以上两类可得:.

因此.

因为,所以满足条件的的个数为.

反之,任何满足条件的数都可表示为:必可被11111整除.因此.

2021-06-03-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题14）

设是所有有序元组的集合,其中都是集合的子集,设表示集合的元素的数目,对中的所有元素,求的总和,即

解

的值,即是中元素出现的次数之和.

对每一个,因为有个子集,这些子集的全体记作集合.

其中不含有元素的子集共有个,记这些子集全体为.

当元组中,都取遍时,共有个这样的元组.

但其中当都不含有元素即时,这样的元组共有个.

所以.

2021-06-03-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 有限集元素的数目 P30 习题15）

设是空间直角坐标系,是空间中的一个由有限个点所形成的集合,分别是中所有的点在平面、平面、平面上的正交投影所成的集合.证明:
其中表示有限集合中的元素数目.(说明:所谓一个点在一个平面上的正交投影是指由点向平面所作垂线的垂足.)

解

记是中形如的点的集合,即中在平面内正交投影坐标为的一切点的集合.任意两个的交集均为空集.

显然.故.

由柯西不等式,得.令,则.

作映射,.显然是单射.因此,.故.