300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 
示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
 

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
 

人人为我递推型动归程序

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int maxlen[n];
//        memset(maxlen,1,n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            maxlen[i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[i] > nums[j]){
                    maxlen[i] = max(maxlen[i], maxlen[j] + 1);
                }
            }
        }
//        int result = maxlen[0];
//        for (int i = 1; i < n; ++i) {
//            result = max(result,maxlen[i]);
//        }
        return *max_element(maxlen, maxlen + n);

    }
};

时间复杂度o($n^2$)

状态转移方程

maxlen(K)表示以$a_k$为重点的最长上升子序列的长度

初始状态：

maxlen(1) = 1

maxlen(k) = max{maxlen(i):0 <= i < k 且$a_i<a_k$且K≠1} + 1

若找不到这样的i，则maxlen(k) = 1
maxlen(k)的值，就是在$a_k$左边，终点值小于$a_k$，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为$a_k$左边任何重点小于$a_k$的子序列，加上$a_k$后就能行程一个更长的上升子序列