【软考设计师】【计算机系统】E02 原、反、补、移码

数据表示

机器数

机器数分类有两个维度：（1）有无符号（2）整数小数。两个维度交叉来看，有如下结论：

• 无符号数表示正数，在机器位中没有符号位；
• 无符号数中，若约定小数点的位置在机器数的最低位之后，则为纯整数；
• 无符号数中，若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则为纯小数；
• 有符号数机器的最高位表示正、负的符号位，其余位表示数值。

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原码

已知：

• 机器字长为 $n$，即采用 $n$ 个二进制位表示数据；
• $e.g.$ 案例中字长 $n=8$；

理解方法：

• 正整数：原码为正整数本身；
  • $e.g.$ $[+1{]}_{原}=00000001$
• 负整数：原码为负整数绝对值后，置第一位为1（表示为负数）；
  • $e.g.$ $[-127{]}_{原}=11111111$
• 正小数：原码为正小数本身；
  • $e.g.$ $[+0.5{]}_{原}=0.1000000$
• 负小数：原码为负小数绝对值后，置第一位为1（表示为负数）；
  • $e.g.$ $[-0.5{]}_{原}=1.1000000$

此外，需要注意的是取值范围。已知机器字长为 $n$，而且机器数中第一位为符号位，所以取值范围为：$-(2^{n-1}-1)\le X\le 2^{n-1}-1$。

对于上述理解方法，有如下公式：

公式如下：

• 若 $X$ 是纯整数，则 $$[X{]}_{原}=\{\begin{array}{l}X,0\le x\le 2^{n-1}-1\\ 2^{n-1}+|X|,-(2^{n-1}-1)\le x\le 0\end{array}$$
• 若 $X$ 是纯小数，则 $$[X{]}_{原}=\{\begin{array}{l}X,0\le x<1\\ 2^0+|X|,-1<x\le 0\end{array}$$

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反码

已知：

• 机器字长为 $n$，即采用 $n$ 个二进制位表示数据；
• $e.g.$ 案例中字长 $n=8$；

理解方法：

• 正整数：反码为正整数本身；
  • $e.g.$ $[+1{]}_{反}=00000001$
• 负整数：反码为除第一位外，剩余位取反；
  • $e.g.$ $[-127{]}_{反}=10000000$
• 正小数：反码为正小数本身；
  • $e.g.$ $[+0.5{]}_{反}=0.1000000$
• 负小数：反码为除第一位外，剩余位取反；
  • $e.g.$ $[-0.5{]}_{原}=1.0111111$

对于上述理解方法，有如下公式：

公式如下：

• 若 $X$ 是纯整数，则 $$[X{]}_{反}=\{\begin{array}{l}X,0\le x\le 2^{n-1}-1\\ 2^n-1+X,-(2^{n-1}-1)\le x\le 0\end{array}$$
• 若 $X$ 是纯小数，则 $$[X{]}_{反}=\{\begin{array}{l}X,0\le x<1\\ 2-2^{-(n-1)}+X,-1<x\le 0\end{array}$$

补充：对于公式的理解：
如果读者对上述公式 $2-2^{-(n-1)}+X$ 不理解，有解释如下：
$2-2^{-(n-1)}$ 使得机器数中所有位的值都为1，然后 $+X$，等同于 $-|X|$；

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补码

已知：

• 机器字长为 $n$，即采用 $n$ 个二进制位表示数据；
• $e.g.$ 案例中字长 $n=8$；

理解方法：

• 正整数：补码为正整数本身；
  • $e.g.$ $[+1{]}_{补}=00000001$
• 负整数：补码为反码 + $2^0$；
  • $e.g.$ $[-127{]}_{补}=10000001$
• 正小数：补码为正小数本身；
  • $e.g.$ $[+0.5{]}_{补}=0.1000000$
• 负小数：补码为反码 + $2^{-(n-1)}$；
  • $e.g.$ $[-0.5{]}_{补}=1.1000000$

对于上述理解方法，有如下公式：

公式如下：

• 若 $X$ 是纯整数，则 $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{l}X,0\le x\le 2^{n-1}-1\\ 2^n+X,-2^{n-1}\le x\le 0\end{array}$$
• 若 $X$ 是纯小数，则 $$[X{]}_{补}=\{\begin{array}{l}X,0\le x<1\\ 2+X,-1\le x<0\end{array}$$

仔细的读者会发现，补码相较于原码和反码，在取值范围上有变化。比如由 $-(2^{n-1}-1)$ 变为了 $-2^{n-1}$，或者说，为什么补码有 -128？

在原码和反码系统中，存在两个零，即正零和负零，这导致了一些混淆和不便。例如，对于8位二进制，+0可以表示为00000000，而-0可以表示为10000000（最高位是符号位）。这就引入了一些奇怪的数学性质，例如+0和-0的加法不等于零。

而在补码系统中，没有+0和-0的概念。这是因为补码中的最高位是用来表示符号的，所以它只有一个零，即00000000表示零，而10000000表示-128。这个表示方法消除了零的二义性，使数学运算更一致和直观。

而原码和反码表示方式，通常不再常用，因为它们引入了不必要的复杂性和不一致性。补码系统解决了原码和反码系统中的一些问题，提供了更好的数学性质和更广泛的整数表示范围，因此在计算机中广泛使用。

所以，-128 存在于补码中。将所有位取反（0变1，1变0），然后加1。
10000000 -> 01111111 + 1 = 10000000

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移码

已知：

• 机器字长为 $n$，即采用 $n$ 个二进制位表示数据；
• $e.g.$ 案例中字长 $n=8$；

理解方法：

• 正整数：移码为补码符号位取反；
  • $e.g.$ $[+1{]}_{移}=10000001$
• 负整数：移码为补码符号位取反；
  • $e.g.$ $[-127{]}_{移}=00000001$
• 正小数：移码为补码符号位取反；
  • $e.g.$ $[+0.5{]}_{移}=1.1000000$
• 负小数：移码为补码符号位取反；
  • $e.g.$ $[-0.5{]}_{移}=0.1000000$

此外，需要注意的是取值范围。已知机器字长为 $n$，而且机器数中第一位为符号位，所以取值范围为：$-(2^{n-1}-1)\le X\le 2^{n-1}-1$。

对于上述理解方法，有如下公式：

公式如下：

• 若 $X$ 是纯整数，则 $$[X{]}_{移}=2^{n-1}+X(-2^{n-1}\le X\le 2^{n-1})$$
• 若 $X$ 是纯小数，则 $$[X{]}_{移}=1+X(-1\le X<1)$$

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