单源最短路问题（1）—朴素Dijkstra算法及其堆优化

常见的最短路问题分为两类：单源最短路（从一个点到其他所有点）、多源汇最短路（任意两点）

1、在单源最短路问题中，若所有的边都是非负数，使用Dijkstra算法；若存在负权边，那么可以使用Bellman-Ford算法，SPFA是对前者优化。关于算法原理的介绍有很多，这里不再详述。

（1）朴素Dijkstra算法，时间复杂度O(n ^ 2)，通常在稠密图的时候使用（边的数量级大概为点的数量级的平方），使用邻接矩阵存图。可以根据题目要求的时间复杂度来选择使用哪种方法。

第一次循环：t = 1, dist[1] = 0, dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 0x3f3f3f3f, st[1] = true

第二次循环：t = 2, dist[1] = 0; dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 3, st[2] = true

第三次循环：t = 3, dist[1] = 0, dist[2] = 2, dist[3] = 3, dist[4] = 3, st[3] = true

结束

示例代码：提供n个点，m条边的有向边，存在自环和重边，计算一点到另一点的最短距离（题目出自AcWing）

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
        
const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];    //邻接矩阵存稠密图
int dist[N];    //存每一个点到起点的最短距离
bool st[N];     //记录每一个点是否被用来执行过松弛操作

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);   //将距离初始化为一个很大的值
    dist[1] = 0;        //取1为起点，起点可任取
    
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++)     //执行n - 1次， 因为最后一个数字不需要用它来进行松弛操作了
    {
        int t = -1; //存st[]为false的点中，那个点的dist[]最小
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        
        for(int j = 1; j <= n; j ++)    //用t这个点来更新st[]为false的所有点的dist[]
        {
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        }
        
        st[t] = true;   //表示t这个点被用来执行过松弛操作了，也表示dist[t]，已经确定最小值了
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;    //取n为终点，-1表示不能到达，终点可任取
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);  //将每条边初始化为一个很大的值
    while(m --)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);  //处理重边
    }
    
    printf("%d\n", dijkstra());
    
    return 0;
}

（2）堆优化版的Dijkstra算法，通常稀疏图使用（边与点的数量级大概相当），用邻接表存图，时间复杂度O(mlogn)

这里使用一个小根堆优化朴素方法里面，寻找最小的dist的点，使用了贪心的思想。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair PII;

const int N = 1500010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       //邻接表存图
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;        //取1为起点
    priority_queue, greater> heap;
    heap.push({0, 1});      //first 为距离， second 为点的编号
    
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int point = t.second, distance = t.first;
        
        if(st[point]) continue;     //这个点被用过了
        st[point] = true;
        
        for(int i = h[point]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});    //最小的距离会自动排到堆顶
            }
        }
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    printf("%d\n", dijkstra());
    return 0;
}