2023NOIP A层联测6 数点
题目大意
给你一个排列 p p p，对于每一个 i i i，我们在平面上，放置一个点 ( i , p i ) (i,p_i) (i,pi)。对于坐标上下限都在 1 ∼ n 1\sim n 1∼n内的全体 ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 (\frac{n(n+1)}{2})^2 (2n(n+1))2矩形，求每个矩形内部点数的 k k k次方之和。
形式化地，请你计算
∑ 1 ≤ l ≤ r ≤ n ∑ 1 ≤ d ≤ u ≤ n ∣ { i ∣ l ≤ i ≤ r ∨ d ≤ p i ≤ u } ∣ \sum\limits_{1\leq l\leq r\leq n}\sum\limits_{1\leq d\leq u\leq n}|\{i|l\leq i\leq r\vee d\leq p_i\leq u\}| 1≤l≤r≤n∑1≤d≤u≤n∑∣{i∣l≤i≤r∨d≤pi≤u}∣
1 ≤ n ≤ 1 0 5 , 1 ≤ k ≤ 3 1\leq n\leq 10^5,1\leq k\leq 3 1≤n≤105,1≤k≤3
题解
我们可以考虑拆贡献，点数的 k k k次方可以看成选 k k k个点的方案的线性组合。
什么意思呢？就是在这 n n n个点中有序地可重地选择 k k k个点，将所有包含这 k k k个点的矩形的贡献 + 1 +1 +1，注意所有从 n n n个点中有序地可重地选 k k k个点的方案都要被计算贡献。
为什么可以这样呢？对于每个矩形，设这个矩形内的点数为 t t t，在这个矩形中有序地可重地选 k k k个点的方案数为 t k t^k tk，也就是说这个矩形在上面计算贡献的时候将贡献加了 t k t^k tk次一。
下面，我们来求 k k k为不同的值时的答案。
当 k = 1 k=1 k=1时
对每个点 ( x , p x ) (x,p_x) (x,px)，答案的贡献增加 x × ( n − x + 1 ) × p x × ( n − p x + 1 ) x\times (n-x+1)\times p_x\times (n-p_x+1) x×(n−x+1)×px×(n−px+1)。
当 k = 2 k=2 k=2时
我们考虑选的两个点相同的情况和两个点不同的情况。
对于两个点相同的情况，这其实就是 k = 1 k=1 k=1的情况，每种情况会被算一次。
对于两个点不同的情况，我们可以分为顺序对和逆序对来考虑：
- 对于顺序对 x < y , p x < p y x
- 对于逆序对 x < y , p x > p y x
因为选点是有序的，每种顺序对和逆序对都用两种选法被选到，所以两个点不同的情况的贡献要乘 2 2 2。
当 k = 3 k=3 k=3时
将 k = 1 k=1 k=1的贡献计算一次（三次选择同一个点）， k = 2 k=2 k=2的贡献计算两次（三次选择两个不同的点），下面再考虑三次选择三个不同的点的贡献。
分为两种本质不同的情况：
情况1
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| * |
| * |
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这种情况出现了 2 2 2次（按 i i i左右翻转，总共有 2 2 2次），用两个树状数组维护即可。
情况2
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| * |
|* |
| * |
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这种情况总共出现了 4 4 4次（按 i i i左右翻转，按 p i p_i pi上下翻转，四个角度各一次，总共有 4 4 4次），用线段树来维护即可。可以在加入第一个点时直接在对应位置上加数，在加入第二个点时将其后缀乘上对应的数，再加入第三个点时查询前缀和。
因为选点是有序的，每种顺序对和逆序对都用六种选法被选到，所以两个点不同的情况的贡献要乘 6 6 6。
时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)。
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