我们知道计算机的计算精度不是无限大的,甚至是十分有限的。CPU的字长和操作系统的处理能力直接制约着运算精度和运算能力。随着计算机应用的深入,人们对计算能力的需求,尤其是精度的需求,越来越高。虽然目前32位CPU及操作系统提供的计算精度,较之从前已有很大的提高,而且精度更高的64位CPU及操作系统正在普及,但是,对许多计算机应用课题来说,能不能具有不直接依赖硬件条件的高精度、高性能计算能力仍是至关重要的。为此,设计高精度计算的软件包,用软件方法实现高精度计算,是一件有实用价值的工作。例如,目前在电子商务应用中,密码的校验及计算就是对高精度计算的典型需求。
分析问题
由于C语言具有执行效率高、支持动态存储分配等特点,我们选用C语言编写了一套工具函数,供高精度计算使用。乘法运算在计算机运算中是一种基本运算,它的计算过程对整个计算效率有举足轻重的影响。仔细研究乘法运算对高精度计算十分必要。
为了实现高精度计算,首先要建立高精度的数据表示方法。我们采用将整数和小数分开,组成两个队列的方法存储数据。这种方法不仅节约存储空间,而且有利于确保整数运算的精度。
描述运算对象的数据结构如下:
struct VARARRAY {
char cDigit; //保存数据位
//指向下一个数据位
struct VARARRAY * spNext;
};
struct SUPERNUMBER
{
//指向最低位整数
struct VARARRAY * spIntPart;
//指向最低位小数
struct VARARRAY * spDecPart;
//指向最高位整数
struct VARARRAY * spIntLast;
//指向最高位小数
struct VARARRAY * spDecLast;
int iNumberInt; //整数位数
int iNumberDec; //小数位数
char cSign;
}; //符号位
在用SUPERNUMBER结构描述运算对象的基础上,我们定义了一套函数,全面实现SUPERNUMBER型数据的输入、输出、赋值、比较、加、减、乘、除、整除等运算功能。本文重点介绍无精度损失的乘法计算方法及主要函数的设计。
乘法算法
为了不损失计算精度,我们将乘法转换为加法实现,基本算法如下:
1.将数符较多的数据表示为X,作为加数,数符较少的数据表示为Y,控制加法次数;
2.如果Y含有小数部分,将Y转变为纯整数YDEC,并记录小数点的右移位数I;
3.初始化返回值T为0,取得Y的位数WIDTH,设计数器COUNT为0;
4.取Y右侧第COUNT+1位,以此数为次数加X,再左移COUNT位,加到T中;
5.把COUNT加1;
6.若COUNT等于WIDTH,转下一步,否则转第4步;
7.将T中的小数点左移I位;
8.返回T,得到乘法结果。
本算法的特点是加法次数少,若Y的宽度为W,最多进行9×W次加法及W次移位即可。
乘法函数
乘法函数通过把两个SUPERNUMBER型的数据相加实现运算目的,其结果通过指针返回。
struct SUPERNUMBER * su_mu(
struct SUPERNUMBER * spSourceOne,
struct SUPERNUMBER * spSourceTwo)
{
struct SUPERNUMBER * spNew;
struct SUPERNUMBER * spYDec;
struct SUPERNUMBER * spX,* spY,* spC,* spT;
struct VARARRAY * spTem;
int iYDec,iWidth,iDigit,iC1,iC2;
spNew=su_as(“0”);
if (spSourceOne->iNumberInt+spSourceOne->iNumberDec>=spSourceTwo->iNumberInt+
spSourceTwo->iNumberDec){
spX=su_co(spSourceOne);
spY=su_co(spSourceTwo);
}
else{
spY=su_co(spSourceOne);
spX=su_co(spSourceTwo);
}
iYDec=spY->iNumberDec;
spYDec=su_mo(spY,iYDec);
i;iNumberInt;
spTem=spYDec->spIntPart;
for(iC1=0;iC1
{
iDigit=(int)(spTem->cDigit-‘0’);
spTem=spTem->spNext;
spC=su_as(“0”);
for(iC2=0;iC2
{
spT=su_ad(spC,spX);
su_fr(spC);
spC=su_co(spT);
su_fr(spT);
}
spT=su_mo(spC,iC1);
su_fr(spC);
spC=su_ad(spNew,spT);
su_fr(spNew);su_fr(spT);
spNew=su_co(spC);
su_fr(spC);
}
spT=su_mo(spNew,-iYDec);
su_fr(spNew);
spNew=su_co(spT);
su_fr(spT);
su_fr(spYDec);
su_fr(spX);
su_fr(spY);
return spNew;
}
在此函数中,我们使用了在高精度计算软件包中定义的其他函数(本文省略其实现代码),主要有:
1.将字符串转化为SUPERNUMBER类型:
struct SUPERNUMBER * su_as(char*zpSource);
2.将一个SUPERNUMBER复制到另一个SUPERNUMBER中:
struct SUPERNUMBER * su_co(struct SUPERNUMBER * spSource);
3.两个SUPERNUMBER的“等于”关系运算,若相等,返回1:
int su_ee(struct SUPERNUMBER * spSource, struct SUPERNUMBER * spDesti);
4.两个SUPERNUMBER数的加法运算:
struct SUPERNUMBER * su_ad(struct
SUPERNUMBER * spSource,struct SUPERNUMBER * spDestination);
5.SUPERNUMBER与用整数表示的数据的加法运算:
struct SUPERNUMBER * su_si(
struct
SUPERNUMBER * spSource, int iDesti);
6.移动小数点:
struct SUPERNUMBER * su_mo(struct
SUPERNUMBER * spSource, int iNum);
7.释放SUPERNUMBER数据的存储空间:
void su_fr(struct SUPERNUMBER * spSource);
应用实例
当我们计算16的阶乘时,常规的方法难于直接得到正确的结果,即使定义长整型(long int)数据,在计算出11的阶乘39916800之后,也开始出现数据错误。但是利用本文介绍的方法,可精确地计算出从1到16的阶乘值。代码如下:
FILE * fp;
struct SUPERNUMBER * spX;
struct SUPERNUMBER * spY;
struct SUPERNUMBER * spZ;
struct SUPERNUMBER * spSum;
fp=fopen(“abcd.txt”,“a+”);
if (fp==NULL) MessageBox(hWndMain,“file error”,“”,MB_OK);
//初始化变量
spX=su_as(“0”);
spY=su_as(“30”);
spSum=su_as(“1”);
//计算从1到16的阶乘值
lp: spZ=su_si(spX,1);
su_fr(spX);
spX=su_co(spZ);
su_fr(spZ); spZ=su_mu(spSum,spX);
su_fr(spSum);
spSum=su_co(spZ);
su_fr(spZ);
su_os(spSum);
su_of(spX,fp);
su_of(spSum,fp);
if (!su_ee(spY,spX)) goto lp;
fclose(fp);
运算结果为:
1 ! 1 2! 2
3 ! 6 4! 24
…
13 ! 6227020800 14! 87178291200
15 ! 1307674368000 16! 20922789888000