Games101中的透视矩阵和glm::perspective的关系

最近在学习OpenGL矩阵相关的操作，发现其中的透视矩阵使用glm::perspective生成，其参数分别为相机的垂直视场角FOV(field of view)、屏幕宽高比、近平面Z值、远平面Z值。但是在Games101中推导出的透视矩阵P如下，并没有前面的两个参数

不禁疑问两者有什么不同？同时在调查解开这个疑问的时候，也加深了对于已有知识点的理解和认识。闲话多少，直接上货！

理解过程中最大的阻碍主要是一下两点

（1）透视矩阵并不是只有一种结果，上面的P是基于一定的前提的；

（2）glm::perspective并不像其字面意思，只是生成了透视矩阵，其中还进行了归一化，还有最重要的是进行了坐标系的转换，将坐标系转换到NDC（Normalized device coordinates），转换前的坐标系是右手坐标系，而NDC是左手坐标系！！不了解这点的话，死活得不到和glm::perspective一致的结果

以下针对这两个重点进行详解

（1）通常我们所说的近平面和远平面的Z值，都是正数，但是相机所朝向的却是-Z方向，所以在计算透视矩阵的时候，必须将其清晰化。Games101中的透视矩阵就是一开始设定其为负值，所以结果为

而如果一开始设定是正值，则其结果是不一样的，glm::perspective默认的就是这种情况 ，其结果如下

最大的不同点就是最后一行的那个1，其符号是不同的，如果没弄明白这点就得不到-1！

两种推导方式是相同的，只不过需要将近平面和远平面的Z值取负数，详细的可参考：关于透视投影变换及相关应用的详细推导-云社区-华为云

（2）glm::perspective不仅做了正规化将所有的坐标都正规化到 [-1, +1]立方的范围内，同时将坐标转换到左手系的NDC上！

那么如何进行正规化呢？以2D的场景为例，如下图

 在旧坐标系下：A的坐标为(x,y)，相机的视角范围在 [l，r] * [t，b] 内，现在要将A转换到新的坐标系下，同时将新坐标系的范围正规化到 [-1，+1]内

所以在新坐标系下：A的x坐标为 (x-(l+r)/2) / ((r-l)/2)，分子分母同时乘上2，则为(2x-(l+r)) / (r-l)，同理，y坐标为：(2y-(t+b)) / (t-b)，z坐标为：(2z-(n+f)/(n-f))

于是可得正规化矩阵为

但是！！该矩阵的结果同样涉及到n和f的符号问题，上述的结果中n和f是带符号的，两者都是负数，n的绝对值更小，所以n>f！

然而glm中n和f是正数！！所以其结果有细微差别，如下

至于转换到NDC中的矩阵则简单得多，但是很多的博文都没有提到glm，所以这个点却是困扰了我最长时间的，一直得不到和glm::perspective一致的结果，其矩阵如下，是乘法中最左边的矩阵

 最终，得到的矩阵结果如下 

公式中的l、r、t、b可通过垂直视场角FOV(field of view)、屏幕宽高比（aspect_ratio）、近平面Z值求得，即

t（top） = near * tan(fov / 2)

b（bottom） = -t

r（right）= t * aspect_ratio  （w/h = l / t  可以推出 l =  aspect_ratio * t，其中 X 轴方向朝向）

l（left）= –r

代入最终的公式中，再对比glm::perspective的计算结果（如下图所示），完全一致！注意GLM中矩阵存储是列优先！

鸣谢：

上述部分图像来源和内容参照

GAMES101作业1：旋转与投影_mb5fe948249bc3d的技术博客_51CTO博客

关于透视投影变换及相关应用的详细推导-云社区-华为云

关于OpenCL中各个坐标系及互相的转化，可阅读

OpenGL中的坐标变换、矩阵变换_gl_position_孙群的博客-CSDN博客

对于以上文章的作者，在此一并表示感谢！！