动态规划之子序列问题
文章目录
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- 一、动态规划之子序列问题
- 二、leetcode例题讲解子序列问题
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- 1. 子序列（不连续）
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- 300. 最长递增子序列
- 1143. 最长公共子序列
- 1035. 不相交的线
- 2. 子序列（连续）
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- 674. 最长连续递增序列
- 718. 最长重复子数组
- 53. 最大子序和
- 3. 编辑距离
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- 392. 判断子序列
- 115. 不同的子序列
- 583. 两个字符串的删除操作
- 72. 编辑距离
- 4. 回文串
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- 647. 回文子串
- 516. 最长回文子序列
- 三、其它算法分析
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- 1. 动态规划之背包问题——01背包
- 2. 动态规划之背包问题——完全背包
- 3. 动态规划之子序列问题
- 4. 算法分析之数组问题
- 5. 算法分析之链表问题
- 6. 算法分析之哈希表
- 7. 算法分析之字符串
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子序列问题是动态规划中一系列常见的问题，有多个种类，这里对动态规划的子序列问题进行汇总。
一、动态规划之子序列问题
根据leetcode题库，这里把动态规划的子序列问题汇总为以下几种：
- 子序列（不连续）
- 子序列（连续）
- 编辑距离
- 回文串
二、leetcode例题讲解子序列问题
1. 子序列（不连续）
300. 最长递增子序列
leetcode题目链接：300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例一：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例二：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
解题思路：
最长递增子序列动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]表示 i 之前包括 i 的最长上升子序列的长度。
2.确定递推公式
位置 i 的最长递增子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
3.dp数组如何初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是是1。
4.确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，
5.举例推导DP数组
省略。
Java实现代码：
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
// 动态规划
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
for(int i = 0; i < dp.length; i++){
for(int j = 0; j < i; j++){
if(nums[i] - nums[j] > 0){
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 0; i < dp.length; i++){
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
}
注：优化的话，可以使用二分查找的方法降低时间复杂度。
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
// 动态规划 + 二分查找
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
int res = 0;
for(int num : nums){
int i = 0, j = nums.length-1;
while(i <= j){
int mid = (j - i)/2 + i;
if(dp[mid] < num) i = mid + 1;
else j = mid - 1;
}
dp[i] = num;
if(dp[res] != Integer.MAX_VALUE) res++;
}
return res;
}
}
1143. 最长公共子序列
leetcode题目链接：1143. 最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例一：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例二：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
解题思路：
最长公共子序列动规的经典题目，要求要相对顺序，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]。
2.确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]=0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
4.确定遍历顺序
要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
5.举例推导DP数组
省略。
Java实现代码：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
// dp[i][j]表示text1[0~i-1]与text2[0~j-1]的最大公共子序列长度
int[][] dp = new int[text1.length()+1][text2.length()+1];
// 这个初始化包含在new里面，可以省略
for (int i = 0; i <= text1.length(); i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 0; j <= text2.length(); j++) {
dp[0][j] = 0;
}
// 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
// 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的
for(int i = 1; i <= text1.length(); i++){
for(int j = 1; j <= text2.length(); j++){
if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
}
1035. 不相交的线
leetcode题目链接：1035. 不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
- nums1[i] == nums2[j]
- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例二：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3
解题思路：
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
与1143. 最长公共子序列一模一样。
Java代码实现：
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
for(int i = 1; i <= nums1.length; i++){
for(int j = 1; j <= nums2.length; j++){
if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[nums1.length][nums2.length];
}
}
2. 子序列（连续）
674. 最长连续递增序列
leetcode题目链接：674. 最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], …, nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例一：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例二：
输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
解题思路：
本题相对于300. 最长递增子序列，最大的区别在于“连续”。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]。
2.确定递推公式
如果 nums[i ] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以 i-1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i-1] + 1;
因为本题要求连续递增子序列，所以就必要比较nums[i]与nums[i-1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i]与nums[i-1]。
3.dp数组如何初始化
以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1。
4.确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i]依赖dp[i-1]，所以一定是从前向后遍历
5.举例推导DP数组
省略。
Java实现代码：
class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
int res = 1;
for(int i = 1; i < nums.length; i++){
if(nums[i] > nums[i-1]){
dp[i] = dp[i-1] + 1;
}
if(dp[i] > res) res = dp[i];
}
return res;
}
}
718. 最长重复子数组
leetcode题目链接：718. 最长重复子数组
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
示例一：
输入：
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。
解题思路：
注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
2.确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
3.dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
反之也可。
5.举例推导DP数组
省略。
Java实现代码：
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
int res = 0;
for(int i = 1; i <= nums1.length; i++){
for(int j = 1; j <= nums2.length; j++){
if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
res = Math.max(res, dp[i][j]);
}
}
}
return res;
}
}
一维滚动数组：
dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。
也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。
此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
// 一维滚动数组
int[] dp = new int[nums2.length + 1];
int res = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else {
dp[j] = 0;
}
res = Math.max(res, dp[j]);
}
}
return res;
}
}
53. 最大子序和
leetcode题目链接：53. 最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例一：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例二：
输入：nums = [1]
输出：1
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
2.确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]因为为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
4.确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
// dp[i] 表示以i结尾的连续子数组的最大和
// dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); 继续加入nums[i]还是从头计算
int n = nums.length;
int res = nums[0];
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
res = Math.max(dp[i], res);
}
return res;
}
}
存储空间优化，在原数组上修改：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int res = nums[0]; //存储和的最大值
for(int i = 1; i < nums.length; i++){
nums[i] += Math.max(nums[i-1], 0);
res = Math.max(res, nums[i]);
}
return res;
}
}
3. 编辑距离
392. 判断子序列
leetcode题目链接：392. 判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
进阶：
如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, … , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？
示例一：
输入：s = "abc", t = "ahbgdc"
输出：true
示例二：
输入：s = "axc", t = "ahbgdc"
输出：false
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
2.确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：
if (s[i - 1] == t[j - 1])
t中找到了一个字符在s中也出现了if (s[i - 1] != t[j - 1])
相当于t要删除元素，继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
3.dp数组如何初始化
dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
这里dp[i][0]和dp[0][j]是没有含义的，仅仅是为了给递推公式做前期铺垫，所以初始化为0。
4.确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public boolean isSubsequence(String s, String t) {
// 动态规划实现
int length1 = s.length(); int length2 = t.length();
int[][] dp = new int[length1+1][length2+1];
for(int i = 1; i <= length1; i++){
for(int j = 1; j <= length2; j++){
if(s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
}
}
if(dp[length1][length2] == length1){
return true;
}else{
return false;
}
}
}
下面是其它方法的实现：
双指针实现：
class Solution {
public boolean isSubsequence(String s, String t) {
// 双指针，从前往后找，找到就i++，
int n = s.length(), m = t.length();
int i = 0, j = 0;
while (i < n && j < m) {
if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {
i++;
}
j++;
}
return i == n;
}
}
字符串函数操作实现：
class Solution {
public boolean isSubsequence(String s, String t) {
// indexOf(c) 返回第一次出现的指定子字符串在此字符串中的索引
// indexOf(c, index) 从指定的索引处开始，返回第一次出现的指定子字符串在此字符串中的索引
// 若找不到，返回-1
int index = -1;
for (char c : s.toCharArray()){
index = t.indexOf(c, index+1); // 从下标index+1开始在t中找到该字符，然后记录该位置，下次从下一个位置开始找
if (index == -1) return false;
}
return true;
}
}
115. 不同的子序列
leetcode题目链接：115. 不同的子序列
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）
示例一：
输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
示例二：
输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
2.确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况
s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
3.dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]表示什么呢？
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int numDistinct(String s, String t) {
int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[s.length()][t.length()];
}
}
583. 两个字符串的删除操作
leetcode题目链接：583. 两个字符串的删除操作
给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
示例一：
输入: "sea", "eat"
输出: 2
解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
2.确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
3.dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。
dp[0][j]的话同理dp[0][j] = j。
4.确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length(), len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
for(int i = 0; i <= len1; i++){
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
for(int i = 1; i <= len1; i++ ){
for(int j = 1; j <= len2; j++){
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1]+1, Math.min(dp[i-1][j]+1, dp[i-1][j-1]+2));
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}
72. 编辑距离
leetcode题目链接：72. 编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
示例一：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例二：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2.确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下四种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
增
删
换
第一种：不操作：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
第二种，操作：
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了。
操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = “ad” ，word2 = “a”，word1删除元素’d’ 和 word2添加一个元素’d’，变成word1=“a”, word2=“ad”， 最终的操作数是一样！
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
3.dp数组如何初始化
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
4.确定遍历顺序
在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
// dp[i][j]表示word1的前i个字母转换成word2的前j个字母所使用的最少操作
// i指向word1，j指向word2, 若当前字母相同，则dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
// 否则取增删替三个操作的最小值 + 1， 即: dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1。
int len1 = word1.length(), len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
for(int i = 0; i <= len1; i++){
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 0; j <= len2; j++){
dp[0][j] = j;
}
for(int i = 1; i <= len1; i++ ){
for(int j = 1; j <= len2; j++){
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1], Math.min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])) + 1;
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}
4. 回文串
647. 回文子串
leetcode题目链接：647. 回文子串
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例一：
输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例二：
输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
解题思路：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2.确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3.dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
4.确定遍历顺序
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。下面采用先遍历列后遍历行的做法。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
// 动态规划，dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串
// 递推公式，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种，不相等dp[i][j]是false
// 当s[i]与s[j]相等时：1.下标i 与 j相同，同一个字符例如a 2.下标i 与 j相差为1，例如aa
// 3. i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，
// 那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true
int n = s.length();
int ans = 0;
if(s == null || n < 1) return 0;
//dp[i][j]：s字符串下标i到下标j的字串是否是一个回文串，即s[i, j]
boolean[][] dp = new boolean[n][n];
for(int j = 0; j < n; j++){
for(int i = 0; i <= j; i++){
//当两端字母一样时，才可以两端收缩进一步判断
if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
if(j - i < 3){ // a, aa, aba
dp[i][j] = true;
}else{
dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
}
}else{
dp[i][j] = false;
}
}
}
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
if(dp[i][j]) ans++;
}
}
return ans;
}
}
双指针法（中心扩展法）：
首先确定回文串，就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
// 双指针法，中心扩展法
// 一个元素作中心点，两个元素也可以作为中心点
// 长度为 n 的字符串会生成2n−1组回文中心, 从0到 2n−2遍历i，就可以得到所有可能的回文中心，把奇数长度和偶数长度两种情况统一
int n = s.length();
int ans = 0;
if(s == null || n < 1) return 0;
for (int i = 0; i < 2 * n - 1; ++i) {
int l = i / 2, r = i / 2 + i % 2;
while (l >= 0 && r < n && s.charAt(l) == s.charAt(r)) {
--l;
++r;
++ans;
}
}
return ans;
}
}
516. 最长回文子序列
leetcode题目链接：516. 最长回文子序列
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
示例一：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例二：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。
解题思路：
上一题求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。
回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2.确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化
当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]，
也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j] 下一行的数据。 所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的。
5.举例推导DP数组
省略。
Java代码实现：
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
// 动态规划
// dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度
// 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
// 如果s[i]与s[j]不相同,说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]
// dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
int len = s.length();
int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏,因为i是基于i+1的
dp[i][i] = 1; // 初始化
for (int j = i + 1; j < len; j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][len - 1];
}
}
三、其它算法分析
1. 动态规划之背包问题——01背包
动态规划之背包问题——01背包
2. 动态规划之背包问题——完全背包
动态规划之背包问题——完全背包
3. 动态规划之子序列问题
动态规划之子序列问题
4. 算法分析之数组问题
算法分析之数组问题
5. 算法分析之链表问题
算法分析之链表问题
6. 算法分析之哈希表
算法分析之哈希表
7. 算法分析之字符串
算法分析之字符串
动态规划其它题型总结：
动态规划之背包问题——01背包
动态规划之背包问题——完全背包
动态规划之打家劫舍系列问题
动态规划之股票买卖系列问题