【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型(2,基本定理及二次型标准化方法)

文章目录

  • 引言
  • 一、二次型的基本概念及其标准型
    • 1.2 基本定理
    • 1.3 二次型标准化方法
      • 1. 配方法
      • 2. 正交变换法
  • 写在最后


引言

了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后,我们继续往后学习二次型的内容。


一、二次型的基本概念及其标准型

1.2 基本定理

定理 1 —— (标准型定理)任何二次型 X T A X \pmb{X}^T\pmb{AX} XTAX 总可以经过可逆的线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ,即 P \pmb{P} P 为可逆矩阵,把二次型 f ( X ) f(\pmb{X}) f(X) 化为标准型,即 f ( X ) = Y T ( P T A P ) Y = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + ⋯ + l m y m 2 , f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y}=l_1y_1^2+l_2y_2^2+\cdots+l_my_m^2, f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22++lmym2, 其中 m m m 为标准型中非零系数的个数。

定理 2 —— (惯性定理)二次型的标准型的系数中,正、负系数的个数保持不变,分别称为二次型的正、负惯性指数。

定理 3 —— (矩阵合同定理)设 A , B \pmb{A,B} A,B n n n 阶实对称矩阵,则 A ≃ B \pmb{A\simeq B} AB 的充分必要条件是 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值中正、负及零的个数相同。

从这个角度也可以理解昨天那篇文章中,为什么实对称矩阵相似一定合同。因为相似的话特征值都一样了,自然正、负及零的个数相同;反之,合同的话,只是个数相同,不能推出特征值相同。

定理 4 —— 对二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = X T A X ( A T = A ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX(A^T=A)} f(x1,x2,,xn)=XTAX(AT=A) ,一定存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q ,使得经可逆线性变换 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY 后,有 X T A X = Y T ( Q T A Q ) Y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 , \pmb{X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2, XTAX=YT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22++λnyn2, 其中, λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn 为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。

1.3 二次型标准化方法

1. 配方法

即通过配方的方法,把二次型化为若干部分的平方和与差,然后进行变换的方法。

如:设 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 = X T A X f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12+2x225x322x1x2+2x2x3=XTAX ,其中 A = [ 1 − 1 0 − 1 2 1 0 1 − 5 ] , X = [ x 1 x 2 x 3 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix},\pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} A= 110121015 ,X= x1x2x3 ,配方得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 − 6 x 3 2 , f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2-6x_3^2, f(x1,x2,x3)=x12+2x225x322x1x2+2x2x3=(x1x2)2+(x2x3)26x32, x 1 − x 2 = y 1 , x 2 − x 3 = y 2 , x 3 = y 3 x_1-x_2=y_1,x_2-x_3=y_2,x_3=y_3 x1x2=y1,x2x3=y2,x3=y3 ,即有 x 1 = y 1 + y 2 − y 3 , x 2 = y 2 − y 3 , x 3 = y 3 x_1=y_1+y_2-y_3,x_2=y_2-y_3,x_3=y_3 x1=y1+y2y3,x2=y2y3,x3=y3 ,用矩阵形式表达,即 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ,其中 P = [ 1 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 ] , Y = [ y 1 y 2 y 3 ] \pmb{P}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\pmb{Y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} P= 100110111 ,Y= y1y2y3 。作可逆线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ,使得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = y 1 2 + y 2 2 − 6 y 3 2 . f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+y_2^2-6y_3^2. f(x1,x2,x3)=y12+y226y32.

2. 正交变换法

即利用定理 4 ,把二次型标准化。其基本步骤如下:

(1)由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda \pmb{E-A}|=0 λEA=0 ,求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn

(2)求出方程组 ( λ i E − A ) X = 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) (\lambda_i\pmb{E-A})\pmb{X}=\pmb{0}(i=1,2,\cdots,n) (λiEA)X=0(i=1,2,,n)(重特征值只代一次)的基础解系,从而获得矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,,ξn

(3)将 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,,ξn 进行施密特正交化(只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行)和规范化,得到矩阵 A \pmb{A} A 的两两正交规范的特征向量 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n} γ1,γ2,,γn

(4)令 Q = ( γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n ) \pmb{Q}=(\pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n}) Q=(γ1,γ2,,γn) ,则 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵,且 Q T A Q = [ λ 1 ⋱ λ n ] \pmb{Q^TAQ}=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix} QTAQ= λ1λn

(5)作正交变换 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY ,则 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = X T A X ⟹ Y T ( Q T A Q ) Y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX\Longrightarrow Y^T(Q^TAQ)Y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 f(x1,x2,,xn)=XTAXYT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22++λnyn2

1,采用正交变换法化标准型时,标准型的系数一定为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。配方法则不一定,但是系数中正、负系数的个数是唯一的。
2,二次型的规范型是唯一的。
3,正交变换不改变向量的长度,即 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵,且向量 X , Y \pmb{X,Y} X,Y 满足 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY ,则有 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |\pmb{X}|=|\pmb{Y}| X=Y 。因为 ∣ X ∣ 2 = X T X = ( Q Y ) T Q Y = Y T ( Q Q ) Y = Y T Y = ∣ Y ∣ 2 |\pmb{X}|^2=\pmb{X}^T\pmb{X}=(\pmb{QY})^T\pmb{QY}=\pmb{Y}^T(\pmb{Q}\pmb{Q)\pmb{Y}}=\pmb{Y}^T\pmb{Y}=|\pmb{Y}|^2 X2=XTX=(QY)TQY=YT(QQ)Y=YTY=Y2 ∣ X ∣ , ∣ Y ∣ > 0 \pmb{|X|,|Y|}>0 X,Y>0 ,故 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |\pmb{X}|=|\pmb{Y}| X=Y


写在最后

先到这吧,慢慢来,做点题目巩固下。下一篇文章我们来学习关于正定矩阵的内容。

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