【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型（2，基本定理及二次型标准化方法）

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引言

了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。

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一、二次型的基本概念及其标准型

1.2 基本定理

定理 1 —— （标准型定理）任何二次型 $X^{T}AX$ 总可以经过可逆的线性变换 $X=PY$ ，即 $P$ 为可逆矩阵，把二次型 $f(X)$ 化为标准型，即$$f(X)=Y^T(P^{T}AP)Y=l_1{y}_1^2+l_2{y}_2^2+\cdots +l_m{y}_m^2,$$ 其中 $m$ 为标准型中非零系数的个数。

定理 2 —— （惯性定理）二次型的标准型的系数中，正、负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正、负惯性指数。

定理 3 —— （矩阵合同定理）设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A\simeq B$ 的充分必要条件是 $A,B$ 的特征值中正、负及零的个数相同。

从这个角度也可以理解昨天那篇文章中，为什么实对称矩阵相似一定合同。因为相似的话特征值都一样了，自然正、负及零的个数相同；反之，合同的话，只是个数相同，不能推出特征值相同。

定理 4 —— 对二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X^{T}AX(A^T=A)$ ，一定存在正交矩阵 $Q$ ，使得经可逆线性变换 $X=QY$ 后，有 $$X^{T}AX=Y^T(Q^{T}AQ)Y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2,$$ 其中，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为矩阵 $A$ 的特征值。

1.3 二次型标准化方法

1. 配方法

即通过配方的方法，把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换的方法。

如：设 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1{x}_2+2x_2{x}_3=X^{T}AX$ ，其中 A = [ 1 − 1 0 − 1 2 1 0 1 − 5 ] , X = [ x 1 x 2 x 3 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix},\pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} A= ​1−10​−121​01−5​ ​,X= ​x1​x2​x3​​ ​ ，配方得 $$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1{x}_2+2x_2{x}_3=(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2-6x_3^2,$$ 令 $x_1-x_2=y_1,x_2-x_3=y_2,x_3=y_3$ ，即有 $x_1=y_1+y_2-y_3,x_2=y_2-y_3,x_3=y_3$ ，用矩阵形式表达，即 $X=PY$ ，其中 P = [ 1 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 ] , Y = [ y 1 y 2 y 3 ] \pmb{P}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\pmb{Y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} P= ​100​110​−1−11​ ​,Y= ​y1​y2​y3​​ ​ 。作可逆线性变换 $X=PY$ ，使得 $f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+y_2^2-6y_3^2.$

2. 正交变换法

即利用定理 4 ，把二次型标准化。其基本步骤如下：

（1）由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ ，求出矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ；

（2）求出方程组 $({\lambda }_{i}E-A)X=0(i=1,2,\cdots ,n)$（重特征值只代一次）的基础解系，从而获得矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ ；

（3）将 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 进行施密特正交化（只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行）和规范化，得到矩阵 $A$ 的两两正交规范的特征向量 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ ；

（4）令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n)$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 Q T A Q = [ λ 1 ⋱ λ n ] \pmb{Q^TAQ}=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix} QTAQ= ​λ1​​⋱​λn​​ ​ ；

（5）作正交变换 $X=QY$ ，则 $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X^{T}AX⟹Y^T(Q^{T}AQ)Y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

1，采用正交变换法化标准型时，标准型的系数一定为矩阵 $A$ 的特征值。配方法则不一定，但是系数中正、负系数的个数是唯一的。
2，二次型的规范型是唯一的。
3，正交变换不改变向量的长度，即 $Q$ 为正交矩阵，且向量 $X,Y$ 满足 $X=QY$ ，则有 $|X|=|Y|$ 。因为 $|X{|}^2=X^{T}X=(QY{)}^{T}QY=Y^T(QQ)Y=Y^{T}Y=|Y{|}^2$ ，$|X|,|Y|>0$ ，故 $|X|=|Y|$ 。

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写在最后

先到这吧，慢慢来，做点题目巩固下。下一篇文章我们来学习关于正定矩阵的内容。