【高等数学】极限(上)(最全万字详解)

1、数列的极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

1.1、数列极限的定义

定义1: $\forall$$ϵ$ > 0, $\exists$N > 0 , 当n > N 时 , 恒有 |$x_n$ - a|< $ϵ$.
N的作用： N是用来描述的$n\to \infty$这个过程的，由于N的存在性，所以N是一个有限数**，而n是一个趋近于无穷的数，则n在趋近于无穷这个过程中一定超过N

于是我们把这个式子通俗解释即为：

存在有限数N，存在一个邻域U(a,$ϵ$)，当n > N后的无限项都落在这个邻域中，则a为原数列的极限

注意：由于$ϵ$是变化的，所以这个邻域可以变成要多小有多小的邻域
如图：

1.2、为什么收敛数列极限是唯一的？

我们先通过几何来看
如果收敛数列的极限为a和b 假设a >b
我们取两个邻域U1(a,$ϵ$),U2(b,$ϵ$)，且U1和U2没有重叠部分
根据数列极限的定义
当n>N时，每一项既要落在U1也要落在U2，但是数列的一项只能有一个值，于是就发生了冲突

如图：

数学证明：

取$ϵ$ = $\frac{a-b}{2}$ $\exists$N > 0
当n > N时满足:
①|$x_n-a$| <$\frac{a-b}{2}$
②|$x_n$ - b| < $\frac{a-b}{2}$
① = $\frac{b-a}{2}+a$ < $x_n$ < $\frac{a-b}{2}+a$
② = $\frac{b-a}{2}+b$ < $x_n$ < $\frac{a-b}{2}+b$
化简上式得： $x_n$ > $\frac{b+a}{2}$ 且 $x_n$ <$\frac{b+a}{2}$
证毕

1.3、为什么收敛数列是有界的？

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$
首先，还是从几何上来看，我们根据定义:
收敛数列当n > N 时，会全部落在一个邻域U(a,$ϵ$)
说明N之后的无穷项 a - $ϵ$ < $x_n$ < a + $ϵ$ ，而我们只需要考虑N之前的，及邻域端点的情况
如图：

数学证明：

由$\forall$$ϵ$ > 0, $\exists$N > 0 , 当n > N 时 , 恒有 |$x_n$ - a|<$ϵ$
得当n > N 时恒有界
令M =max{$|x_1|,|x_2|,|x_3|,...,|x_N|,|a+ϵ|,|a-ϵ|$}
证得：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n<M$

注意：
1、有界数列不一定收敛，例如$x_n=(-1{)}^{n-1}$
2、由于收敛一定有界，所以无界一定发散，但发散不一定无界，例如$x_n=(-1{)}^{n-1}$

1.4、数列极限的保号性

1.4.1、极限保数列值

定义：若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，且$a>0$(或$a<0$)，则 $\exists N$，当$n>N$时，都有$x_n>0$(或$x_n<0$)

我们还是从几何上来看看(我们证明a > 0时一定有$x_n>0$，反之证明方法一样)：

由图中我们可以看到当第N项之后的每一项都落在了U(a,ϵ)
∵a≠0，a>0
所以无论a取多小，只要a - ϵ > 0即可满足

数学证明：
取$ϵ=\frac{a}{2}$
由$\forall$$ϵ$ > 0, $\exists$N > 0 , 当n > N 时 , 恒有 |$x_n$ - a|< $ϵ$
展开得$a-ϵ<x_n<a+ϵ$
解得$x_n>\frac{a}{2}(a>0)$
证毕

此时我们取极限值保数列值的逆否命题，即为数列值保极限值

1.4.2、数列值保极限值

推论：如果$\exists N>0$,当$n>N$时,$x_n\le 0(或x_n\ge 0)$则$a\ge 0(或a\le 0)$

这里的$a\ge 0$
原因是当某一个数列的极限为0时，它的极限的定义是在这一点上的一个邻域
也就是说，虽然极限值是0，但数列值可以取到＞0的部分
(例如$x_n=\frac{1}{n}$数列值恒>0，但这个数列的极限是0）

1.5、收敛数列与其子列之间的关系

${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\Lleftarrow \Rrightarrow {\lim }_{k\to \infty }{x}_{2k}={\lim }_{k\to \infty }{x}_{2k-1}$
$x_{2k}$为偶数列
$x_{2k-1}$为奇数列

注意：如果子列的极限不相等，仅仅是存在的话无法推出收敛数列的极限(例如$x_n=(-1{)}^{n-1}$)**

2、函数极限概念

2.1、函数极限的定义

2.1.1、自变量趋于有限值时函数的极限

定义：设函数f(x)在点$x_0$的某个去心邻域有定义，若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$,$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
记作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$
注意：
1、$ϵ$是任意的，它的任意性也就刻画了函数值$f(x)$与极限值A要多接近有多接近
2、由定义$|x-x_0|>0$就说明$x\ne x_0$
3、$\delta$是用来刻画$x\to x_0$这个过程的一个变量
如图(${\lim }_{x\to x_0}y=x^2,x_0=2$)：

我们可以看到，当$x$落在$\mathring{U}(x_0,\delta )$时恒有$f(x)$落在$U(A,ϵ)$（无论$ϵ$有多小）
通俗点说：说明只要$f(x)$以A为极限，就一定可以在x轴上找到一个邻域$\mathring{U}(x_0,\delta )$，当x的取值落在这个邻域后它对应的$f(x)$的函数值一定落在$U(A,ϵ)$中。

2.1.1.1、左极限与右极限

左极限：若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$,$0<x_0-x<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
记作$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})=f(x_0-0)$$
右极限：若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$,$0<x-x_0<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
记作$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0^{+})=f(x_0+0)$$
即：在$\mathring{U}(x_0,\delta )$中，以$x=x_0$为界限，左边的即为左极限，右边的即为右极限

左右极限与极限得关系：如图我们很容易看出来，如果极限要存在的话，那么左右极限就一定要存在，并且左右极限要相等，反之左右极限存在并且相等的话，极限值也一定存在
${\lim }_{x\to x_0}f(x)\Lleftarrow \Rrightarrow {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$
注意：极限讨论的$x$所属邻域 是去心的，所以极限值与函数在去心点$x_0$的值无关

2.1.2、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：$\forall ϵ>0,\exists X>0$,当$|x|>X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
记作$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$$
我们把$|f(x)-A|$展开后：$A-ϵ<f(x)<A+ϵ$
同样的，这里得$ϵ$是表示当x满足条件时，那么$f(x)$与极限值A之间要多接近有多接近
即当$|x|>X$时，函数值一定落在去心邻域$U(A,ϵ)$
如图(x>0部分，x<0时同理)：

几何意义：由上图我们也可以看出来，当$x\to \infty$时，y = f(x)是以极限值y = A为水平渐近线来逼近得

$\mathrm{2.1.2.1}、+\infty 与-\infty$

当$x\to +\infty$时的定义：定义：$\forall ϵ>0,\exists X>0$,当$x>X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
当$x\to -\infty$时的定义：定义：$\forall ϵ>0,\exists X>0$,当$x<-X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$

定义我们能看出：${\lim }_{x->\infty }f(x)\Lleftarrow \Rrightarrow {\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$

2.2、函数极限的性质

2.2.1、唯一性

函数极限是唯一的
原因是如果有两个极限，A和B，那么总会存在一个X当$|x|>X$时无法同时包含A和B，也就是无法在同一个邻域中同时取得A和B
【图参考数列极限的唯一性】
【证明函数极限唯一性】
不妨令${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，${\lim }_{x\to x_0}f(x)=B(A>B)$
令$ϵ=\frac{A-B}{2}$
证明：即$\exists \delta >0$,$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$
又$\exists \delta >0$,$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-B|<ϵ$
由定义得：
$A-\frac{A-B}{2}<f(x)<A+\frac{A-B}{2}化简\frac{A+B}{2}<f(x)<\frac{3A-B}{2}$
$B-\frac{A-B}{2}<f(x)<B+\frac{A-B}{2}化简\frac{2B-A}{2}<f(x)<\frac{A+B}{2}$
得：$\frac{A+B}{2}>f(x)>\frac{A+B}{2}$
∴$f(x)$不存在
证毕

2.2.2、局部有界性

定义：$\exists M>0与\delta >0$,使得$\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$有$|f(x)|\le M$
这个定义说明了，只要一个函数在某一点上有极限，则在这个点得去心邻域有界，去心是因为极限值与在这一点上得函数值无关，局部是因为极限得定义规定了，极限至于在这一点上得去心邻域有关，跟其他无关
注意：局部有界无法推出函数在这一点上有极限
(例如：${\lim }_{x\to 0}sin(\frac{1}{x})$)

2.2.3、局部保号性

2.2.3.1、极限保函数

定义：如果$A>0(或A<0)$，则存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)>0(或f(x)<0)$

这个与数列极限很像，唯一的不同就是数列保的是$n>N$后的无穷项，而函数保的是以取得极限值的$x_0$点为中心，的一个小的去心邻域
而数列极限可以通过极限值保数列值，也能通过数列值保极限值，同样的函数也是如此

推论：如果$A\ne 0$，则存在$\delta >0$,当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
我们先从A >0来看：

$\because A>0$,∴当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时$f(x)>0$
上述推论就变为：
如果$A>0$，则存在$\delta >0$,当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)>\frac{A}{2}$
根据极限得定义：我们取$ϵ=\frac{A}{2}$
$\exists \delta >0,当x\in \mathring{U}(A,\delta )时$，有$f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}$
证毕

如果A<0，证明方法也是类似使用保号性进行证明

2.2.3.2、函数保极限

推论：如果$\exists \delta >0$当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时,$f(x)\ge 0(或f(x)\le 0)$,那么$A\ge 0(或A\le 0)$
这里也是跟数列极限一样的,A需要可以取到0这个点,原因是讨论极限讨论的是一个去心邻域，则函数值>0的时候只要符合$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$这个条件即可
例如(${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{1}{x}$)虽然恒$\ge 0$但它的极限值为0

2.2.4、函数极限与数列极限的关系

若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,且li{m}_{n\to \infty }{x}_n=x_0,x_n\ne x_0,则{\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$
用通俗点得话说就是，函数极限是A，数列极限是$x_0$，那么这个函数与数列复合而成的新数列就以A为极限
注意：这里得$x_n\ne x_0$不能去掉
原因是前面得函数$x\to x_0,但x\ne x_0$,也就是说哪怕函数在$x_0$点无定义，它照样可以有极限，那么数列极限也只能$\to x_0,而\ne x_0$

3、无穷大与无穷小

3.1、无穷小

3.1.1、定义

定义：如果函数$f(x)$当$x\to x_0(或x\to \infty )$时的极限为零，则称$f(x)$为$x\to x_0(或x\to \infty )$时的无穷小量

通俗的来说，只要函数极限值为0，则$f(x)$即为无穷小
例1:$$\underset{x\to 0}{\lim }sinx=0$$
即：sinx是$x\to 0$时的无穷小量
例2：$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$即：$\frac{1}{x}$是$x\to \infty$时的无穷小量
例3：$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0$$即：$e^{\frac{1}{x}}$是$x\to 0^{-}$时的无穷小量
注意：
1、无穷小是个变量，不能与很小的数混淆(如：0.000…1不能叫做无穷小量)
2、零是可以作为无穷小的唯一的数

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$
令$a(x)=f(x)-A$
即可得出以下定理

定理：$\lim f(x)=A\Lleftarrow \Rrightarrow f(x)=A+a(x)$
其中$\lim a(x)=0$
这个定理的意思是只要是一个函数以A为极限，那么一定能写成一个常数$A+无穷小量$
其中，这个无穷小量表示的就是$f(x)$在这一点上的函数值与极限值A之间距离

3.1.2、几何意义

我们以${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$为例，如图为$f(x)=\frac{1}{x}$

从图中我们可以得出以下结论：
若${\lim }_{x\to \infty }f(x)=a，则y=a为y=f(x)$的水平渐近线

3.1.3、无穷小的比较

(1)、若$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$,则称$\alpha (x)$是$\beta (x)$的高阶无穷小
记为$\alpha (x)=o(\beta (x))$
(2)、若$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$,则称$\alpha (x)$是$\beta (x)$的低阶无穷小
(3)、若$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=a,a\ne 0$,则称$\alpha (x)$与$\beta (x)$是同阶无穷小
(4)、若$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则称$\alpha (x)$与$\beta (x)$是等价无穷小
记为$\alpha (x)$~$\beta (x)$
(5)、若$\lim \frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=a\ne 0,k>0$,则称$\alpha (x)$是$\beta (x)$的k阶无穷小

当$x\to 0$时，${}^n\sqrt{1+x}-1$~$\frac{1}{n}x$

【证明】
即证：${\lim }_{x\to 0}\frac{{}^n\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$
令${}^n\sqrt{1+x}-1=t,x=(1+t{)}^n-1$
原式$={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{(1+t{)}^n-1}$
二项式展开：
$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^{n-0}{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+C_n^n{a}^0{b}^n$$

根据二项式展开原式$={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{nt+\frac{n(n-1)}{2}{t}^2+...}=\frac{1}{n}$
证毕

定理：$\alpha (x)$~$\beta (x)\Lleftarrow \Rrightarrow \alpha (x)=\beta (x)+o(\beta (x))$
【证明】

证明$\alpha (x)-\beta (x)\Rrightarrow \alpha (x)=\beta (x)+o(\beta (x))$
即证明：$\frac{\alpha (x)-\beta (x)}{\beta (x)}=0$
$\frac{\alpha (x)-\beta (x)}{\beta (x)}=\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}-1=0$
证明$\alpha (x)-\beta (x)\Lleftarrow \alpha (x)=\beta (x)+o(\beta (x))$
两边同除$\beta (x):\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$

定理：设$\alpha (x)\sim {\alpha }_1(x),\beta (x)\sim {\beta }_1(x)$,且$\lim \frac{{\alpha }_1(x)}{{\beta }_1(x)}$,则$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim \frac{{\alpha }_1(x)}{{\beta }_1(x)}$$

【证明】
$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim \frac{\frac{\alpha (x)}{{\alpha }_1(x)}\times {\alpha }_1(x)}{\frac{\beta (x)}{{\beta }_1(x)}\times {\beta }_1(x)}=\lim \frac{{\alpha }_1(x)}{{\beta }_1(x)}$
证毕

3.1.4、常用等价无穷小代换

当$x\sim 0$时
$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arctan x\sim \arcsin x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1\sim \ln (1+\sqrt{1+x^2})$
${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$
$\frac{1}{2}{x}^2\sim x-\ln (1+x)\sim 1-\cos x$
$\frac{1}{6}{x}^3\sim x-\sin x\sim \arcsin x-x$
$\frac{1}{3}{x}^3\sim \tan x-x\sim x-\arctan x$
$\frac{1}{2}{x}^3\sim \tan x-\sin x$
$\alpha x\sim (1+x{)}^{\alpha }-1$

3.2、无穷大

3.2.1、定义

定义：若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$,则称$f(x)$是$x\to x_0$时的无穷大量
即：若对任意给定的$M>0$,总存在$\delta >0$
当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)|>M$
例：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$$
即：$\frac{1}{x}$是$x\to 0$时的无穷大量

3.2.2、正无穷大与负无穷大

正无穷大:${\lim }_{x\to x_0}f(x)=+\infty$
负无穷大:${\lim }_{x\to x_0}f(x)=-\infty$
注意：正负无穷大量都是无穷大，无穷大包括了正负无穷大，而正负无穷大是无穷大的特殊情况

3.2.3、几何意义

我们以${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$为例，如图为$f(x)=\frac{1}{x}$

从图中我们可以得出以下结论：
1、若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty 则x=x_0为y=f(x)$的垂直渐近线

3.3、无穷大与无穷小的关系

定理：在同一极限过程中，如果$f(x)$是无穷大,则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小
反之,如果$f(x)$是无穷小,且$f(x)\ne 0$,则$\frac{1}{f(x)}$是无穷大

注意：因为无穷小量也可能是0，所以这里必须要有$f(x)\ne 0$

4、极限运算法则

4.1、基本定理

定理1：两个无穷小的和是无穷小

【证明】
令
${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$
${\lim }_{x\to x_1}g(x)=0$
$\forall ϵ>0,\exists {\delta }_1,当0<|x-x_0|<{\delta }_1时,|f(x)|<ϵ$
$\forall ϵ>0,\exists {\delta }_2,当0<|x-x_0|<{\delta }_2时,|g(x)|<ϵ$
令$\delta =min${${\delta }_1,{\delta }_2$}，当$x<\delta$时
$|f(x)|+|g(x)|<$2ϵ$
证毕
推广：有限个无穷小的和为无穷小
注意：一定要是有限个无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
【证明】
令有界函数$|g(x)|\le M,x\in \mathring{U}(x,{\delta }_1)$
令${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$
即：$\forall ϵ>0,\exists {\delta }_2>0,$当$0<|x<x_0|<{\delta }_2$时，$|f(x)|<ϵ$
令$\delta =min${${\delta }_1,{\delta }_2$}
得：$|f(x)g(x)|\le Mϵ$
由$ϵ$的任意性
证毕
推广1：常数与无穷小的乘积是无穷小

推广2：有限个无穷小的积仍是无穷小

推广2我们可以先看两个无穷小的乘积：
首先我们根据局部有界性可以得出无穷小其实在$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$是有界的
即转化为：有界乘无穷小=无穷小
既然两个无穷小的乘积是无穷小，即有限个无穷小的乘积也是无穷小

4.2、极限的四则运算

定理3：若$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B,那么：$
1、$\lim (f(x)\pm g(x))=\lim f(x)\pm \lim g(x)$
2、$\lim (f(x)\times g(x))=\lim f(x)\times \lim g(x)$
3、$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}(B\ne 0)$

定理3的证明我们主要用到一个结论就是无穷小的定理:
一点处的极限就等于这一点的函数值$\pm$无穷小
${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\Lleftarrow \Rrightarrow f(x)=A+\alpha (x)$

【证】
1、证明：$\lim (f(x)\pm g(x))=\lim f(x)\pm \lim g(x)$
$f(x)=A+\alpha (x),g(x)=B+\beta (x)$
$f(x)+g(x)=A+\alpha (x)+B+\beta (x)=A+B$
证毕

2、证明：$\lim (f(x)\times g(x))=\lim f(x)\times \lim g(x)$
$f(x)=A+\alpha (x),g(x)=B+\beta (x)$
$f(x)\times g(x)=(A+\alpha (x))(B+\beta (x))=AB+A\beta (x)+\alpha (x)B+\alpha (x)\beta (x)=AB$
证毕

3、证明$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}(B\ne 0)$
$f(x)=A+\alpha (x),g(x)=B+\beta (x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A+\alpha (x)}{B+\beta (x)}=\frac{A}{B}$
证毕

注意：定理三得要求是两个函数极限都要存在，那么如果不存在得和差积商是什么呢？并且定理三可以推广到数列极限

1、存在$\pm$不存在=不存在
我们可以假设如果存在+不存在=存在的话
即：不存在=存在+存在（而存在+存在一定存在）
此时就矛盾了

不存在$\pm$不存在=不一定
例如：
${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}+sin\frac{1}{x}$(不存在)
${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}+(-\sin \frac{1}{x})=0$（存在）

存在$÷/\times$不存在$=$不一定
例如：
${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0$（存在）
${\lim }_{x\to 0}1\times \sin \frac{1}{x}$（不存在）

不存在$÷/\times$不存在=不一定
例如：
${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}\times \frac{1}{x}$(不存在)
${\lim }_{n\to \infty }(-1{)}^n\times (-1{)}^n=1$(存在)

推论：如果$\lim f(x)$存在,而$c$为常数,那么$$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$$
推论：如果$\lim f(x)$存在,而$n$为正整数,那么$$\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$$

4.3、极限的比较大小

定理5：如果$\phi (x)\ge \psi (x),而\lim \phi (x)=A,\lim \psi (x)=B,$那么$A\ge B$

【证明】

证明$A\ge B$
$\lim (\phi (x)-\psi (x))=A-B$
$\because \phi (x)-\psi (x)\ge 0$
$\therefore \lim (\phi (x)-\psi (x))\ge 0,即A-B\ge 0$
证毕

4.4、复合函数的极限

定理6：设$y=f[g(x)]$是由$y=f(u),u=g(x)$复合而成,${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0且{\lim }_{u\to u_0}f(u)=a,当x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)时$,$g(x)\ne u_0$,则${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]=a$

为什么需要$g(x)\ne u_0$？我们先从定义角度来看，首先${\lim }_{u\to u_0}f(u)=a$隐含得条件是：$u\to u_0,但u\ne u_0$，而此时$u$被$g(x)$替换，那么$g(x)$也应该$g(x)\to u_0,但g(x)\ne u_0$,$g(x)$以$u_0$为极限则$g(x)$可以等于$u_0$，所以自然要加上$g(x)\ne u_0$
反例：$f(u)=\frac{x^2-1}{x-1}$,$u=g(x)=\{\begin{array}{ll}1+x& x<0\\ 1& x>0\end{array}$,此时$f[g(x)]=\{\begin{array}{ll}\frac{(1+x{)}^2-1}{x}& x<0\\ 无定义& x>0\end{array}$
则此时${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]=不存在$

极限(下)超链接

【高等数学】极限(下)