数论——矩阵乘法 + P1962 斐波那契数列 + P1349 广义斐波那契数列

题目

P1962 斐波那契数列 https://www.luogu.com.cn/problem/P1962

算法分析

首先本题运用到的核心算法为 矩阵乘法

矩阵乘法的相关介绍请见：数论——矩阵乘法

本题运用矩阵乘法解决斐波那契数列，算法分析如下：

$Fibonacci$数列：$F(0)=1,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)$

$Fibonacci$数列 $f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1$
我们可以考虑一个1×2的矩阵【$f[n-1],f[n-2]$】。根据$Fibonacci$数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【$f[n],f[n-1]$】。
即：
【$f[n-1],f[n-2]$】$\ast A=$ 【$f[n],f[n-1]$】$=$【$f[n-1]+f[n-2],f[n-1]$】
很容易构造出这个2×2矩阵$A$，即：
1 1
1 0
所以，有【$f[2],f[1]$】$\times A＝$【$f[3],f[2]$】。又因为矩阵乘法满足结合律，故有：【$f[2],f[1]$】$\times A^{(n-2)}=$【$f[n],f[n-1]$】
这个矩阵的第一个元素$f[n]$即为所求。
$$f[n]=A.mp[1][1]+A.mp[1][2]$$
详细代码如下：

Code

#include
#include
#include
#include
#define ll long long 
#define rg register
using namespace std;
inline ll sread()
{
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return f*x; 
}
const int p=1000000000+7;
int n=2;
ll k;
struct node{
	ll mp[105][105];
};
node mul(node a,node b)
{
	node c;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(rg int j=1;j<=n;++j)
		{ 
			c.mp[i][j]=0; 
			for(rg ll k=1;k<=n;++k)
			{
				c.mp[i][j]+=((a.mp[i][k]%p)*(b.mp[k][j]%p))%p;
			}
		}
	}
	return c;
}
node quickpow(node mp,ll b)
{
	node ans,base=mp;
	for(rg int i=1;i<=n;++i) ans.mp[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,base);
		base=mul(base,base);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	k=sread();
	node G,_ans;
	G.mp[1][1]=1; G.mp[1][2]=1;  G.mp[2][1]=1;  G.mp[2][2]=0;
	ll ans_;
	if(k>=2)
	{
		_ans=quickpow(G,k-2);
		ans_=(_ans.mp[1][1]+_ans.mp[1][2])%p;
	}
	if(k==1) ans_=1; 
	printf("%lld",ans_);
	return 0;
} 

反思与总结

1.注意考虑 $k=1$ 的特殊情况，否则会导致死循环。
2.根据题目条件要适时开 $longlong$
3.要充分理解并灵活运用矩阵快速幂的模板，并学会在题目中发现使用。

题目拓展

本题还可在原基础上继续拓展：

题目

Luogu：P1349 广义斐波那契数列

算法分析

我们可以考虑一个1×2的矩阵【$f[n-1],f[n-2]$】。根据$Fibonacci$数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【$f[n],f[n-1]$】。
即：
【$f[n-1],f[n-2]$】$\ast A=$ 【$f[n],f[n-1]$】$=$【$f[n-1]+f[n-2],f[n-1]$】
很容易构造出这个2×2矩阵$A$，即：
$p$ $q$
$1$ $0$
所以，有【$f[2],f[1]$】$\times A＝$【$f[3],f[2]$】。又因为矩阵乘法满足结合律，故有：【$f[2],f[1]$】$\times A^{(n-2)}=$【$f[n],f[n-1]$】
这个矩阵的第一个元素$f[n]$即为所求。
$$f[n]=a1\ast A.mp[1][1]+a2\ast A.mp[1][2]$$

Code

#include
#include
#include
#include
#define ll long long 
#define rg register
using namespace std;
inline ll sread()
{
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return f*x; 
}
int n=2;
ll r1,r2,a1,a2,k,p;
struct node{
	ll mp[105][105];
};
node mul(node a,node b)
{
	node c;
	for(rg ll i=1;i<=n;++i)
	{
		for(rg ll j=1;j<=n;++j)
		{ 
			c.mp[i][j]=0; 
			for(rg ll k=1;k<=n;++k)
			{
				c.mp[i][j]+=((a.mp[i][k]%p)*(b.mp[k][j]%p))%p;
			}
		}
	}
	return c;
}
node quickpow(node mp,ll b)
{
	node ans,base=mp;
	for(rg ll i=1;i<=n;++i) ans.mp[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,base);
		base=mul(base,base);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	r1=sread(); r2=sread();
	a1=sread(); a2=sread();
	k=sread();  p=sread();
	node G,_ans;
	G.mp[1][1]=r1; G.mp[1][2]=r2;  G.mp[2][1]=1;  G.mp[2][2]=0;
	ll ans_;
	if(k>=2)
	{
		_ans=quickpow(G,k-2);
		ans_=(a2*_ans.mp[1][1]+a1*_ans.mp[1][2])%p;
	}
	if(k==1) ans_=a1; 
	printf("%lld",ans_);
	return 0;
}