用位运算实现加减乘除法

我们知道计算机只认识0和1，而计算机在计算加减乘除的是也不是我们理解的直接预算，而是通过逻辑运算来实现的，也就是与、非、或、异或，下面就通过这些逻辑运算符来实现加减乘除法

加法：比如1+1用二进制表示就是00000001+00000001，那么在不允许直接使用加号的时候，我们就可以用异或来实现加法，异或实际上就可以理解为不进位的加法，00000001异或00000001就等于00000000，丢掉了一个进位，而进位信息，可以通过与运算来保留，与运算的时候，必须是两个1，结果才会是1，也就是说对应的位上一定是两个1，相加的时候一定会产生进位，那么加法的实现就是不进位相加的结果+进位信息，也就是异或运算的结果加上与运算产生的进位，进位就是与运算之后乘以2，也就是左移一位，直到进位为0为止：

代码实现：

    public static int add(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int carry = a & b; // 进位
            a = a ^ b; // 不考虑进位的加法
            b = carry << 1; // 将进位左移一位
        }
        return a;
    }

减法：有两种方式，一种是跟加法一样，通过借位

    public static int subtract(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int borrow = (~a) & b;
            a = a ^ b;
            b = borrow << 1;
        }
        return a;
    }

1. while (b != 0)：这是一个循环，只要b不等于0，就继续执行循环体。这是因为在二进制中，0代表没有借位，所以当b变为0时，表示减法已经完成。

2. int borrow = (~a) & b;：这行代码计算了借位。~a对a取反，然后与b进行与运算，结果为借位。如果a的某一位是0，b的相应位是1，那么需要从更高位借1，这就产生了借位。

3. a = a ^ b;：这行代码实现了无借位的减法。^是异或运算符，对于每一位，如果a和b的相应位都是1或都是0，那么结果就是0（1-1=0，0-0=0）；如果a的位是1，b的位是0，那么结果就是1（1-0=1）。这就完成了无借位的减法。

4. b = borrow << 1;：这行代码将借位左移一位。因为借位实际上是从更高位借来的，所以需要左移一位。

5. return a;：最后返回a，这就是减法的结果

第二种就是直接使用加法来实现减法：比如2-1实际上就是2加上-1，-1实际上就是1取反再加1：

    public static int subtractV2(int a, int b) {
        return add(a, add(~b, 1));
    }

乘法：乘法实际上还是加法的实现，比如我们知道5*3实际上就是5个3相加或者3个5相加，我们用二进制加法来表示5*3：

    public static int muti(int a, int b) {
        int res = 0;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) == 1) {//说明b无符号右移之后最后一位是1，这个时候就需要把a加上去，否则继续移动
                res = add(a, res);
            }
            b = b >>> 1;
            a = a << 1;
        }
        return res;
    }

除法：除法是乘法的反向推导，比较绕，比如15/5=3，意思就是5*2+5*1=15，其中2就是2的一次方，1就是2的0次方，也就是说一个数a除以b，那么a一定可以表示为：b*2的0次方+b*2的1次方+....，我们说乘法实际上是加法实现的，那么除法其实就是减法的实现过程，比如15/5，也就是从15中不断地减去5，直到不够减或者为0为止，也就是：15-5*2-5*1=0，其中2就是2的一次方，1就是2的0次方，那么15/5实际上就是2的0次方加上2的一次方

  /**
     * 转换成绝对值
     * 5取反是-6
     * -5取反是4
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public static int negNum(int n) {
        return add(~n, 1);
    }

    /**
     * 除法其实就是乘法的反向推导
     * 比如15/5=3
     * 15=5*3 ===》0101*2+0101 ==》01010+00101 ==》01111
     * 15=5*3 ===》5*2+5*1 ==》01010+00101 ==》01111
     * 5左移动一位10 两位是20
     * res*2*1+res*1
     */
    public static int div(int a, int b) {
        int x = Math.abs(a);//先转换成绝对值计算，最后判断结果要不要加上-号,绝对值可以通过上面的negNum来实现
        int y = Math.abs(b);//先转换成绝对值计算，最后判断结果要不要加上-号,绝对值可以通过上面的negNum来实现
        int res = 0;
        for (int i = 30; i >= 0; i = subtractV2(i, 1)) {
            if ((x >> i) >= y) {//
                res = res | (1 << i);
                x = subtractV2(x, y << i);
            }
        }
        return (a > 0 && b > 0) ? res : muti(res, -1);
    }