C++：用位运算实现加减乘除

1.加法

#include
using namespace std;
int main()
{
	int x,y,ans,a,b;
	cin>>x>>y;					//输入两个加数
	a=x;
	b=y;
	while(y)
	{
		ans=x^y;				//求x,y的和（不进位）
		y=(x&y)<<1;				//求x,y的进位的数，令赋值给y
		x=ans;					//令不进位的值赋值给x，开始下一次求和
	}
	cout<<a<<"+"<<b<<"="<<ans;	//输出结果
}

两个数x、y求异或，得到的x，y不进位的和

x	0	1	0	1
y	0	1	1	0
x^y	0	0	1	1

x与y求与，再左移一位，得到的是进位的数。

x	0	1	0	1
y	0	1	1	0
x&y	0	1	0	0
(x&y)<<1	1	0	0	0

将不进位的和与进位的数再求和，当进位为0的时候，循环结束，得到的就是运算的结果。

2.减法

与加法类似，就是将减数取反。

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
	int x,y,ans,a,b;
	cin>>x>>y;					//输入两个减数
	a=x;
	b=y;
	y=-y;						//令y取负，转化为相加
	while(y)
	{
		ans=x^y;				//求x,y的和（不进位）
		y=(x&y)<<1;				//求x,y的进位的数，令赋值给y
		x=ans;					//令不进位的值赋值给x，开始下一次求和
	}
	cout<<a<<"-"<<b<<"="<<ans;	//输出结果
}

3.乘法

#include
using namespace std;
int Add(int x,int y);
int main()
{
	int x,y,ans=0;
	cin>>x>>y;
	while(y)
	{
		if(~(~y|~1))		//判断y的二进制最后一位是否为1（为1则为True）
			ans=Add(ans,x);
		x=x<<1;
		y=y>>1;
	}
	
	cout<<ans;
}
int Add(int x,int y)	//加法运算函数
{
	int ans;
	while(y)
	{
		ans=x^y;				
		y=(x&y)<<1;				
		x=ans;					
	}
	return ans;
}

首先我们来看一下二进制的乘法可以这么分解，简单起见，我们让两个四位的二进制数相乘：
0110 * 1010 = 0110 * 1000 + 0110 * 0010
我们对于乘数（后一个数）进行了分解，为什么这样做呢，转化为十进制我们再看看就明白了：
6 * 10 = 6 * 8 + 6 * 2
也就是让被乘数乘以2的倍数，在二进制里面，一个数乘以2的倍数，就相当于左移对应的位数，这样，我们就可以运用位运算来实现乘法。所以
0110 * 1010 = 0110 * 1000 + 0110 * 0010
就相当于令0110左移3位再加上0110左移一位。

我们看主函数中if判断条件，1的二进制取反，得到的是一个最低为为0，其他位为1的数。这个数与一个数求或，相当于将一个数除最后一位全部置1（逻辑代数基本知识）.

~1	1	1	1	1	1	1	1	0
a	*	*	*	*	*	*	*	*
a|~1	1	1	1	1	1	1	1	*

可见，如果x最后一位为0，则求或的结果再求反就是1，if里的语句执行。因为我们这里的a相当于程序里面的~y，所以当y的最后一位为1，则程序执行。也就是说当y最后一位为1，对x求和得到ans。这样做的原因就是我们之前举例说明的：
0110 * 1010 = 0110 * 1000 + 0110 * 0010
对于乘数要右移1位，被乘数要左移1位，当乘数右移m位时最小位为1，则此时左移了m位的被乘数相当于已经乘以了2^m（2的m次方）。具体过程可以看下面：

x	y	y最后一位	ans
00000110	00001010	0	0
00001100	00000101	1	0110 * 0010 （左移1位相当于乘2）
00011000	00000010	0	0110*0010
00110000	00000001	1	0110*0010 + 0010*1000
01100000	00000000	0	0110*0010 + 0010*1000
循环结束

4.除法

#include
using namespace std;
int Add(int x,int y);
int Minus(int x,int y);
int main()
{
	int x,y,ans=0;
	cin>>x>>y;
	while(x>=y)
	{
		x=Minus(x,y);	//x-y赋值给x
		ans=Add(ans,1);	//ans++
	}
	cout<<ans;
}
int Add(int x,int y)	//加法运算函数
{
	int ans;
	while(y)
	{
		ans=x^y;				
		y=(x&y)<<1;				
		x=ans;					
	}
	return ans;
}
int Minus(int x,int y)	//减法运算函数
{
	int ans;
	ans = Add(x,-y);
	return ans;
}

除法的比较简单，就是用被除数不停减去除数，直到被除数小于除数。期间每减一次就令结果ans+1.稍作修改也可以写为求余 （x%y）的程序，大家可以自己试试。

5.小节

这部分程序就本身而言应用价值并不大，但是其中学到的利用位运算来处理数据特别重要。

操作符	按位与	按位或	按位异或	按位取反	左移	右移
操作符号	&	|	^	~	<<	>>
作用	清零特定位	特定位置1	特定位值取反	补码	相当于乘2	相当于除以2