2023NOIP A层联测9-天竺葵

天竺葵/无法阻挡的子序列/很有味道的题目

我们称一个长度为 $k$ 的序列 $c$ 是好的，当且仅当对任意正整数 $i$ 在 $[1,k-1]$ 中，满足 $c_{i+1}>b_i\times c_i$，$b$ 序列在下文描述。

小 L 现在给你两个序列 $a,b$，你需要从 $a$ 序列中找出一个最长的子序列 $c$，使得 $c$ 是好的。

输出这个最长的子序列的长度即可。

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暂且把这个问题叫做带权最长上升子序列。

显然，类似于求 $LIS$，如果我们在 $a$ 序列的前 $i$ 个数中已经选了一个好的序列 $c$，那么 $c$ 的最后一个一定是最小的（因为后面更容易满足条件增加长度）。

于是用二分，$lo{w}_i$ 表示长度为 $i$ 的带权最长上升子序列的 $a_i\cdot b_i$ 的最小值。

每次用 $\text{lower\_bound}$ 在 $low$ 中查找大于等于 $a_i$ 的第一个位置，用 $a_i\cdot b_i$ 更新该位置，同时记录答案。

这样就做完了。

细节详见代码。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,ans=1;
ll a[1000001],b[1000001],low[1000001];
ll read()
{
    ll sum=0;
    int c=getchar();
    while(c<48||c>57) c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57) sum=sum*10+c-48,c=getchar();
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("C.in","r",stdin);
    freopen("C.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
    memset(low,0x3f,sizeof(low));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int czn=lower_bound(low+1,low+1+ans,a[i])-low;
        ans=max(ans,czn);
        low[czn]=min(a[i]*b[czn],low[czn]);
    }
    cout<<ans;
}