python实现相空间重构_用非平衡零差法实现wigner函数的简单测量

在量子光学实验中一个值得关注的技术是量子态层析（quantum state tomography），即用一些不同的测量基下的测量结果把光场的量子态完整地重构出来。对于偏振空间来说，大概加一加波片转一转偏振片就好了，实验上得到密度矩阵是相对简单的。现在我们考虑相空间上的层析，比如说现在有一个压缩态，我们想把它的wigner函数给测出来，该怎么设计实验呢？

在讲具体的实验之前我们先回忆一下理论。对于单模相空间的密度算符

, 考虑定义带s参数的wigner函数

，它是测量位移算符

乘以

的结果的二维傅里叶变换，即

那么

其中

为wigner函数对应的测量算符。

不加说明所有希腊字母表示复参数，

和

分别为产生湮灭算符），为了计算方便，定义“::”符号表示对产生算符和湮灭算符的一个重排，使得湮灭算符全部排在产生算符的前面（normal order），而加减号保持不变，举例来说：

考虑恒等算符的重排：

可以得到：

那么光子数测量算符可表示为：

现在我们来计算

, 利用Вакег-Hausdorff公式：

我们有

那么

设

为测得n个光子的概率，从而

即wigner函数在原点的取值可直接从光子数探测器的测量结果中计算得到。

但对于层析来说只得到一个原点的取值显然是不够的，不过好消息是我们可以用某种手段来平移原点，这个手段就是非平衡零差法（unbalanced homodyne），实验装置如下图所示：

我们要测的是信号光的wigner函数，那么我们用一个透射率

的非平衡分束器让其信号光走透射光路，一个激光器发出的可调相干态

做探测光走反射光路（被称为local oscillator,本地振荡器），用探测效率为

的光子数探测器探测混合光。零差（homodyne）的含义是信号光和探测光包括频率，波包形状和偏振等性质都相同，因此混合后可以发生干涉，那么在海森堡绘景下混合光与信号光之间的算符关系为：

其中

为非平衡分束器引起的透射光和反射光的相位差，那么混合光对应的wigner测量算符为

与信号光对应的wigner测量算符就建立起了联系，即实现了原点的平移。因此信号光的wigner函数可最终表示为

其中

表示探测光为

时测得n个光子的概率。

一般我们关心

时的狭义的wigner函数，如果探测效率

和分束器透射率

都足够接近1的话， 那么求和式中加权的系数就是

，但如果考虑实际情况，这个系数是比-1要小的，n次方后会发散，实际测量中就会放大噪声。当

时，才能保证求和绝对的收敛。

另一方面，可以证明：

从该公式也能看出，用更小的

时的去重构更大的

时，指数函数的系数是正的，因此有可能会发散，反过来则是收敛的（等效于做了个二维高斯模糊）。

参考文献

1. S. Wallentowitz and W. Vogel, Phys. Rev. A 53, 4528 (1996)

2. K. Banaszek and K. Wo´dkiewicz, Phys. Rev. Lett. 76, 4344 (1996)